الرياضيات — الأعداد المركبة: معادلات في مجموعة الأعداد المركبة — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

في هذا الدرس، سنتناول موضوع الأعداد المركبة: معادلات في مجموعة الأعداد المركبة الخاص بمادة الرياضيات لتلاميذ الثالثة ثانوي (الشعب العلمية). حل المعادلات في مجموعة الأعداد المركبة يسمح لنا بإيجاد حلول لمعادلات ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية.

حل معادلة من الدرجة الثانية في ℂ

المعادلة az² + bz + c = 0 حيث a, b, c أعداد حقيقية و a ≠ 0. نحسب المميز Δ = b² – 4ac. إذا كان Δ > 0، يوجد حلان حقيقيان. إذا كان Δ = 0، يوجد حل حقيقي مضاعف. إذا كان Δ < 0، يوجد حلان مركبان مترافقان: z = (-b ± i√(-Δ))/(2a).

المعادلات من الشكل z² = a

لحل z² = a في ℂ: إذا كان a > 0، فالحلان هما √a و -√a. إذا كان a = 0، فالحل هو 0. إذا كان a < 0، فالحلان هما i√(-a) و -i√(-a).

أمثلة تطبيقية

المثال الأول: حل المعادلة z² + z + 1 = 0. Δ = 1 – 4 = -3. الحلان: z = (-1 ± i√3)/2.

المثال الثاني: حل المعادلة z² + 4 = 0. z² = -4، إذن z = 2i أو z = -2i.

تمارين للتدريب

1. حل المعادلة z² – 2z + 5 = 0 في ℂ.
2. حل المعادلة z² + 9 = 0.
3. حل المعادلة z² – 4z + 13 = 0.

خلاصة

مجموعة الأعداد المركبة ℂ تسمح بحل جميع المعادلات الجبرية. المميز السالب يعني وجود حلين مركبين مترافقين. إتقان حل المعادلات في ℂ ضروري لامتحان البكالوريا.

دروس ذات صلة

• درس المعادلات من الدرجة الثانية – طرق حل المعادلات التربيعية.
• درس جملة معادلتين بطريقة المحددات – حل جمل المعادلات.