الرياضيات — الدوال الأسية: تعريفها وخصائصها — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

في هذا الدرس، سنتناول موضوع الدوال الأسية: تعريفها وخصائصها الخاص بمادة الرياضيات لتلاميذ الثالثة ثانوي (الشعب العلمية). الدالة الأسية هي من أهم الدوال في الرياضيات وتظهر في العديد من التطبيقات العلمية والاقتصادية.

تعريف الدالة الأسية

الدالة الأسية الطبيعية هي الدالة f(x) = e^x حيث e هو عدد نيبير (e ≈ 2.71828). الدالة الأسية هي الدالة الوحيدة التي تحقق f(x) = f(x) و f(0) = 1. مجال تعريفها هو R ومجال صورها هو ]0, +∞[. الدالة الأسية متزايدة تماماً على R، وتقبل محور الفواصل كخط مقارب أفقي عند -∞.

خصائص الدالة الأسية

e^(a+b) = e^a × e^b. e^(a-b) = e^a / e^b. (e^a)^b = e^(ab). نهاية الدالة الأسية عند +∞ هي +∞ وعند -∞ هي 0. مشتق الدالة e^x هو e^x. التكامل: ∫ e^x dx = e^x + C.

أمثلة تطبيقية

المثال الأول: بسّط التعبير: e^(2x) × e^(3x) = e^(5x).

المثال الثاني: حل المعادلة: e^(2x) – 3e^x + 2 = 0. نضع X = e^x، نحصل على X² – 3X + 2 = 0. المميز Δ = 9 – 8 = 1، X1 = 2، X2 = 1. إذن e^x = 2 → x = ln 2 و e^x = 1 → x = 0.

تمارين للتدريب

1. احسب نهاية f(x) = e^x – x عند +∞.
2. ادرس اتجاه تغير الدالة f(x) = e^(2x) – 3e^x.
3. احسب المشتق: f(x) = x²e^x.

خلاصة

الدالة الأسية هي دالة أساسية في الرياضيات. يجب حفظ خصائصها وقواعد اشتقاقها. تستخدم في نمذجة النمو السكاني والتحلل الإشعاعي والفائدة المركبة.

دروس ذات صلة

• درس الاشتقاقية: عدد مشتق دالة – اشتقاق الدوال الأسية.
• درس إشارة دالة: دراسة إشارة تعبير جبري – دراسة إشارة الدوال الأسية.