الرياضيات — الدوال اللوغاريتمية: تعريفها وخصائصها — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

في هذا الدرس، سنتناول موضوع الدوال اللوغاريتمية: تعريفها وخصائصها الخاص بمادة الرياضيات لتلاميذ الثالثة ثانوي (الشعب العلمية). الدالة اللوغاريتمية الطبيعية هي الدالة العكسية للدالة الأسية، وهي أداة مهمة في حل المعادلات الأسية وفي العديد من التطبيقات.

تعريف الدالة اللوغاريتمية

الدالة اللوغاريتمية الطبيعية هي الدالة f(x) = ln x حيث x > 0. هي الدالة العكسية للدالة الأسية: ln(e^x) = x لكل x ∈ R و e^(ln x) = x لكل x > 0. مجال تعريفها هو ]0, +∞[. الدالة ln x متزايدة تماماً على مجال تعريفها. نهايتها عند +∞ هي +∞ وعند 0⁺ هي -∞.

خصائص الدالة اللوغاريتمية

ln(a×b) = ln a + ln b. ln(a/b) = ln a – ln b. ln(a^n) = n ln a. ln(1/x) = -ln x. مشتق الدالة ln x هو 1/x. التكامل: ∫ (1/x) dx = ln|x| + C.

أمثلة تطبيقية

المثال الأول: حل المعادلة ln(2x – 1) = 3. شرط: 2x – 1 > 0 → x > 1/2. 2x – 1 = e³ → 2x = e³ + 1 → x = (e³ + 1)/2.

المثال الثاني: بسّط: ln(8) – ln(2) = ln(8/2) = ln 4 = 2 ln 2.

تمارين للتدريب

1. حل المعادلة ln(x) + ln(x – 1) = ln 6.
2. ادرس اتجاه تغير الدالة f(x) = ln(x² + 1).
3. احسب المشتق: f(x) = x ln x – x.

خلاصة

الدالة اللوغاريتمية هي أداة قوية لتبسيط العمليات الحسابية وحل المعادلات الأسية. يجب إتقان خصائصها وقواعد اشتقاقها لأنها مطلوبة في امتحان البكالوريا.

دروس ذات صلة

• درس الاشتقاقية: عدد مشتق دالة – اشتقاق الدوال اللوغاريتمية.
• درس إشارة دالة: دراسة إشارة تعبير جبري – دراسة إشارة الدوال اللوغاريتمية.