الرياضيات — الأعداد الطبيعية: تحليل عدد إلى جداء عوامل أولية — الأولى متوسط — المنهاج الجزائري

تحليل عدد إلى جداء عوامل أولية

الأعداد الأولية هي الأعداد الطبيعية التي تقبل القسمة على 1 وعلى نفسها فقط. من أمثلة الأعداد الأولية: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، …

تحليل عدد إلى جداء عوامل أولية يعني كتابة العدد على شكل حاصل ضرب أعداد أولية. هذه المهارة أساسية في الرياضيات وتستخدم في العديد من التطبيقات.

طريقة التحليل:

نقوم بقسمة العدد على أصغر عدد أولي يقبل القسمة عليه، ثم نكرر العملية مع الناتج حتى نحصل على 1.

مثال 1: تحليل العدد 12

• 12 ÷ 2 = 6
• 6 ÷ 2 = 3
• 3 ÷ 3 = 1

إذن: 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

مثال 2: تحليل العدد 60

• 60 ÷ 2 = 30
• 30 ÷ 2 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

إذن: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

مثال 3: تحليل العدد 48

• 48 ÷ 2 = 24
• 24 ÷ 2 = 12
• 12 ÷ 2 = 6
• 6 ÷ 2 = 3
• 3 ÷ 3 = 1

إذن: 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3

فوائد تحليل الأعداد:

• إيجاد القاسم المشترك الأكبر (PGCD): نأخذ العوامل المشتركة بأصغر أس.
• إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (PPCM): نأخذ جميع العوامل بأكبر أس.
• تبسيط الكسور: نحتاج إلى تحليل الأعداد لتبسيط الكسور.
• حل المسائل: يستخدم في حل مسائل القسمة والتوزيع.

تمارين تطبيقية:

التمرين 1: حلل الأعداد التالية إلى جداء عوامل أولية: 36، 45، 72، 100.

التمرين 2: باستخدام التحليل إلى عوامل أولية، أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 36 و 48.

التمرين 3: باستخدام التحليل إلى عوامل أولية، أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 12 و 18.

الحلول:

التمرين 1:

• 36 = 2² × 3²
• 45 = 3² × 5
• 72 = 2³ × 3²
• 100 = 2² × 5²

التمرين 2: PGCD(36, 48) = 2² × 3 = 12

التمرين 3: PPCM(12, 18) = 2² × 3² = 36