مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
📚 بنك الأسئلة التربوية — الرياضيات 📚
السنة الثالثة ثانوي — الشعب العلمية — تحضير بكالوريا 2026
هذه المجموعة الأولى من بنك الأسئلة (40 سؤالاً من أصل 80) — شاملة مع الإجابات النموذجية
📐 المحور الأول: الأعداد العقدية (Complex Numbers) — الأسئلة 1-8
❓ السؤال 1:
عيّن العدد العقدي z الذي يحقق: z + 3i = 2z̄ + 1 - i
✅ الإجابة:
نضع z = x + iy حيث x,y∈ℝ. إذن z̄ = x - iy.
المعادلة: x + iy + 3i = 2(x - iy) + 1 - i
x + i(y+3) = 2x + 1 + i(-2y - 1)
بمساواة الجزأين الحقيقي والتخيلي:
x = 2x + 1 → x = -1
y + 3 = -2y – 1 → 3y = -4 → y = -4/3
إذن: z = -1 - (4/3)i
❓ السؤال 2:
احسب (1 + i)²⁰²⁶.
✅ الإجابة:
نكتب 1 + i = √2(cos(π/4) + i sin(π/4)).
(1 + i)²⁰²⁶ = (√2)²⁰²⁶ × (cos(2026π/4) + i sin(2026π/4))
2026/4 = 506 + 2/4 = 506 + 1/2 → الباقي π/2.
إذن: (1 + i)²⁰²⁶ = 2¹⁰¹³ × i
❓ السؤال 3:
حل في ℂ المعادلة: z² - 4z + 13 = 0.
✅ الإجابة:
Δ = 16 – 52 = -36 = (6i)².
الحلان: z₁ = (4 + 6i)/2 = 2 + 3i, z₂ = (4 - 6i)/2 = 2 - 3i.
❓ السؤال 4:
عيّن الشكل المثلثي للعدد العقدي z = -√3 + i.
✅ الإجابة:
المقياس: |z| = √(3 + 1) = 2.
السعة θ: cos θ = -√3/2, sin θ = 1/2 → θ = 5π/6 [2π].
إذن: z = 2(cos(5π/6) + i sin(5π/6)).
❓ السؤال 5:
أوجد مجموعة النقط M(z) حيث |z - 2 + i| = 3.
✅ الإجابة:
|z - (2 - i)| = 3 هي دائرة مركزها Ω(2, -1) ونصف قطرها R = 3.
إذن مجموعة النقط هي الدائرة التي معادلتها (x - 2)² + (y + 1)² = 9.
❓ السؤال 6:
أحسب (1 - i√3)⁶ باستعمال الشكل المثلثي.
✅ الإجابة:
1 - i√3 = 2(cos(-π/3) + i sin(-π/3)).
(1 - i√3)⁶ = 2⁶(cos(-6π/3) + i sin(-6π/3)) = 64(cos(-2π) + i sin(-2π)) = 64.
إذن: (1 - i√3)⁶ = 64.
❓ السؤال 7:
إذا كان z + 1/z = 2cosθ، برهن أن zⁿ + 1/zⁿ = 2cos(nθ).
✅ الإجابة:
من z + 1/z = 2cosθ نستنتج z = cosθ + i sinθ.
إذن zⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) و 1/zⁿ = cos(nθ) - i sin(nθ).
إذن: zⁿ + 1/zⁿ = 2cos(nθ).
❓ السؤال 8:
حل في ℂ: z⁴ + 16 = 0.
✅ الإجابة:
z⁴ = -16 = 16(cosπ + i sinπ).
الحلول: z = 2(cos((π+2kπ)/4) + i sin((π+2kπ)/4)), k=0,1,2,3.
z₀ = √2 + i√2, z₁ = -√2 + i√2, z₂ = -√2 - i√2, z₃ = √2 - i√2.
📈 المحور الثاني: الدوال الأسية واللوغاريتمية (Exponential & Logarithmic) — الأسئلة 9-16
❓ السؤال 9:
احسب النهاية: lim(x→+∞) (eˣ + x) / (x² + eˣ).
✅ الإجابة:
نقسم البسط والمقام على eˣ:
lim (1 + x/eˣ) / (x²/eˣ + 1) = (1 + 0) / (0 + 1) = 1.
إذن: النهاية = 1.
❓ السؤال 10:
ادرس اتجاه تغير الدالة f(x) = ln(x² + 1).
✅ الإجابة:
مجال التعريف: ℝ. f'(x) = 2x/(x² + 1).
إشارة f’: موجبة لـ x>0 وسالبة لـ x<0.
إذن: f متزايدة على [0, +∞[ ومتناقصة على ]-∞, 0].
❓ السؤال 11:
حل المعادلة: e²ˣ - 3eˣ + 2 = 0.
✅ الإجابة:
نضع X = eˣ > 0: X² - 3X + 2 = 0.
X = 1 أو X = 2. إذن eˣ = 1 → x = 0 أو eˣ = 2 → x = ln 2.
S = {0, ln 2}.
❓ السؤال 12:
بسط: A = ln(32) - 2ln(4) + ln(1/2).
✅ الإجابة:
A = ln(32) - ln(16) + ln(1/2) = ln(32/16 × 1/2) = ln(2 × 1/2) = ln(1) = 0.
إذن: A = 0.
❓ السؤال 13:
ادرس النهاية: lim(x→0⁺) x ln x.
✅ الإجابة:
نضع t = 1/x → x→0⁺ ⟺ t→+∞.
x ln x = (-ln t)/t → 0 (نهاية كلاسيكية).
إذن: النهاية = 0.
❓ السؤال 14:
أوجد الدالة المشتقة لـ f(x) = e^(3x-1) × ln(2x+1).
✅ الإجابة:
f'(x) = 3e^(3x-1) × ln(2x+1) + e^(3x-1) × 2/(2x+1).
f'(x) = e^(3x-1)[3ln(2x+1) + 2/(2x+1)].
❓ السؤال 15:
حل المتراجحة: ln(x+3) > ln(2x-1).
✅ الإجابة:
مجال: x+3>0 و 2x-1>0 → x>1/2.
ln(x+3) > ln(2x-1) → x+3 > 2x-1 → -x > -4 → x < 4.
S = ]1/2, 4[.
❓ السؤال 16:
أحسب lim(x→+∞) (ln(x²+1))/x.
✅ الإجابة:
ln(x²+1)/x = ln(x²(1+1/x²))/x = (2ln x + ln(1+1/x²))/x.
= 2(ln x)/x + (ln(1+1/x²))/x → 0 + 0 = 0.
إذن: النهاية = 0.
📊 المحور الثالث: الدوال الأصلية والتكامل (Integration) — الأسئلة 17-24
❓ السؤال 17:
أوجد دالة أصلية لـ f(x) = 3x² + 2x - 5.
✅ الإجابة:
F(x) = x³ + x² - 5x + C حيث C ∈ ℝ.
❓ السؤال 18:
احسب التكامل: ∫₀¹ (2x + 1)eˣ dx.
✅ الإجابة:
بالتكامل بالتجزئة: u = 2x+1, dv = eˣdx.
du = 2dx, v = eˣ.
∫₀¹ (2x+1)eˣ dx = [(2x+1)eˣ]₀¹ - ∫₀¹ 2eˣ dx
= (3e - 1) - 2(e - 1) = 3e - 1 - 2e + 2 = e + 1.
إذن: ∫₀¹ (2x+1)eˣ dx = e + 1.
❓ السؤال 19:
احسب المساحة المحصورة بين منحني f(x) = x² والمستقيم y = x+2.
✅ الإجابة:
نقاط التقاطع: x² = x+2 → x²-x-2=0 → x=-1, x=2.
المساحة: A = ∫₋₁² ((x+2) - x²) dx = [x²/2 + 2x - x³/3]₋₁²
= (2+4-8/3) - (1/2-2+1/3) = (6-8/3) - (-3/2+1/3)
= 10/3 - (-7/6) = 10/3 + 7/6 = 27/6 = 9/2.
إذن: A = 4.5 وحدة مساحة.
❓ السؤال 20:
أوجد دالة أصلية لـ f(x) = 1/(x ln x) على ]1, +∞[.
✅ الإجابة:
F(x) = ln|ln x| + C.
على ]1, +∞[، ln x > 0:
F(x) = ln(ln x) + C.
❓ السؤال 21:
احسب: ∫₀^π x cos x dx.
✅ الإجابة:
بالتجزئة: u=x, dv=cos x dx.
du=dx, v=sin x.
∫₀^π x cos x dx = [x sin x]₀^π - ∫₀^π sin x dx
= (0-0) - [-cos x]₀^π = -(-cosπ + cos0) = -(-(-1)+1) = -1-1 = -2.
إذن: ∫₀^π x cos x dx = -2.
❓ السؤال 22:
أحسب ∫₁² (3x² - 2x + 1)/x dx.
✅ الإجابة:
(3x² - 2x + 1)/x = 3x - 2 + 1/x.
∫₁² (3x - 2 + 1/x) dx = [3x²/2 - 2x + ln|x|]₁²
= (6 - 4 + ln2) - (3/2 - 2 + 0) = (2 + ln2) - (-1/2) = 2.5 + ln2.
إذن: = 2.5 + ln2.
❓ السؤال 23:
احسب ∫₋₁¹ |x| dx.
✅ الإجابة:
∫₋₁¹ |x| dx = ∫₋₁⁰ (-x) dx + ∫₀¹ x dx
= [-x²/2]₋₁⁰ + [x²/2]₀¹ = 0 - (-1/2) + 1/2 - 0 = 1/2 + 1/2 = 1.
إذن: ∫₋₁¹ |x| dx = 1.
❓ السؤال 24:
أوجد الدالة الأصلية F لـ f(x) = eˣ/(1+eˣ) حيث F(0) = ln2.
✅ الإجابة:
F(x) = ln(1+eˣ) + C.
F(0) = ln2 → ln(1+1) + C = ln2 → ln2 + C = ln2 → C = 0.
إذن: F(x) = ln(1+eˣ).
🔬 المحور الرابع: المعادلات التفاضلية (Differential Equations) — الأسئلة 25-32
❓ السؤال 25:
حل المعادلة التفاضلية: y' - 4y = 0.
✅ الإجابة:
المعادلة من الشكل y’ – ay = 0 حيث a = 4.
الحل العام: y(x) = Ce⁴ˣ حيث C ∈ ℝ.
❓ السؤال 26:
حل y'' + 9y = 0.
✅ الإجابة:
المعادلة المميزة: r² + 9 = 0 → r = ±3i.
الحل العام: y(x) = Acos(3x) + Bsin(3x), A,B ∈ ℝ.
❓ السؤال 27:
حل: y' - 2y = e³ˣ.
✅ الإجابة:
الحل المتجانس: y_h = Ce²ˣ.
حل خاص: y_p = ke³ˣ → 3ke³ˣ – 2ke³ˣ = e³ˣ → k = 1.
الحل العام: y(x) = Ce²ˣ + e³ˣ.
❓ السؤال 28:
حل y'' - 5y' + 6y = 0.
✅ الإجابة:
المعادلة المميزة: r² – 5r + 6 = 0 → r₁=2, r₂=3.
الحل العام: y(x) = Ae²ˣ + Be³ˣ.
❓ السؤال 29:
حل: y' + y = 2cos x.
✅ الإجابة:
المتجانس: y_h = Ce⁻ˣ.
حل خاص: y_p = acos x + bsin x.
y’_p = -asin x + bcos x.
(-asin x + bcos x) + (acos x + bsin x) = 2cos x.
(-a+b)sin x + (b+a)cos x = 2cos x.
-a+b=0 و a+b=2 → a=b=1.
الحل العام: y(x) = Ce⁻ˣ + cos x + sin x.
❓ السؤال 30:
حل: y' = (y² + 1)/x على ]0, +∞[.
✅ الإجابة:
نفصل المتغيرات: dy/(y²+1) = dx/x.
∫ dy/(y²+1) = ∫ dx/x → arctan y = ln x + C.
y(x) = tan(ln x + C).
❓ السؤال 31:
حل: y'' - 4y' + 4y = 0 مع y(0)=1, y'(0)=0.
✅ الإجابة:
المعادلة المميزة: r² – 4r + 4 = 0 → (r-2)²=0 → r=2 (مزدوج).
الحل العام: y(x) = (Ax+B)e²ˣ.
y(0)=1 → B=1. y'(x) = (A+2Ax+2B)e²ˣ → y'(0)=A+2=0 → A=-2.
y(x) = (-2x+1)e²ˣ.
❓ السؤال 32:
حل: y' - 3y = 6.
✅ الإجابة:
المتجانس: y_h = Ce³ˣ.
حل خاص: y_p = k → 0 – 3k = 6 → k = -2.
الحل العام: y(x) = Ce³ˣ - 2.
🎲 المحور الخامس: الاحتمالات (Probability) — الأسئلة 33-40
❓ السؤال 33:
صندوق يحتوي 5 كرات حمراء و 3 خضراء. نسحب كرتين بدون إرجاع. احسب احتمال سحب كرتين من نفس اللون.
✅ الإجابة:
عدد الحالات الممكنة: C(8,2) = 28.
P(حمراء+حمراء) = C(5,2)/28 = 10/28.
P(خضراء+خضراء) = C(3,2)/28 = 3/28.
P(نفس اللون) = 10/28 + 3/28 = 13/28.
❓ السؤال 34:
متغير عشوائي X يتبع قانون برنولي بمعامل p=0.4. احسب E(X) و V(X).
✅ الإجابة:
E(X) = p = 0.4.
V(X) = p(1-p) = 0.4 × 0.6 = 0.24.
❓ السؤال 35:
X متغير عشوائي يتبع قانوناً أسيّاً بمعامل λ=2. احسب P(X ≤ 1).
✅ الإجابة:
دالة التوزيع: F(x) = 1 - e⁻²ˣ لـ x≥0.
P(X ≤ 1) = 1 - e⁻² = 1 - 0.1353 = 0.8647.
❓ السؤال 36:
X يتبع قانوناً طبيعياً N(μ=10, σ²=4). احسب P(8 < X < 12).
✅ الإجابة:
P(8 < X < 12) = P((8-10)/2 < Z < (12-10)/2) = P(-1 < Z < 1).
= 2Φ(1) - 1 = 2×0.8413 - 1 = 0.6826.
❓ السؤال 37:
نرمي قطعة نقد 5 مرات. ما احتمال الحصول على وجه واحد بالضبط؟
✅ الإجابة:
X يتبع قانون ثنائي B(5, 1/2).
P(X=1) = C(5,1)×(1/2)¹×(1/2)⁴ = 5/32.
❓ السؤال 38:
مصنع ينتج 2% قطع معيبة. نأخذ عينة من 100 قطعة. ما احتمال وجود 3 قطع معيبة على الأكثر؟
✅ الإجابة:
X: عدد القطع المعيبة في العينة. ن=100، p=0.02 → λ=np=2.
تقريب بقانون بواسون P(λ=2).
P(X≤3) = e⁻²(1 + 2 + 2²/2! + 2³/3!) = e⁻²(1+2+2+4/3) = e⁻²(5+4/3) = e⁻²×19/3 ≈ 0.857.
❓ السؤال 39:
صندوق يحتوي 4 كرات بيضاء و 6 سوداء. نسحب كرة ثم نعيدها ثم نسحب ثانية. احسب احتمال سحب كرتين بلونين مختلفين.
✅ الإجابة:
P(بيضاء+سوداء) = 4/10 × 6/10 = 24/100.
P(سوداء+بيضاء) = 6/10 × 4/10 = 24/100.
P(مختلفين) = 24/100 + 24/100 = 48/100 = 12/25.
❓ السؤال 40:
متغير عشوائي X له القانون التالي: P(X=0)=0.1, P(X=1)=0.4, P(X=2)=0.3, P(X=3)=0.2. احسب E(X²).
✅ الإجابة:
E(X²) = 0²×0.1 + 1²×0.4 + 2²×0.3 + 3²×0.2
= 0 + 0.4 + 1.2 + 1.8 = 3.4.
إذن: E(X²) = 3.4.
📌 ملخص بنك الأسئلة
هذه المجموعة الأولى من بنك الأسئلة التربوية (40 سؤالاً من أصل 80) في مادة الرياضيات
لتلاميذ السنة الثالثة ثانوي (الشعب العلمية) — تحضيراً لشهادة البكالوريا.
✅ جميع الإجابات نموذجية ومصححة بالكامل.
✅ تغطي 5 محاور أساسية في البرنامج الرسمي.
🔜 المجموعة الثانية قادمة في الدورة القادمة — تابعونا!