الرياضيات — الأعداد المركبة: تمثيلها الهندسي — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

في هذا الدرس، سنتناول موضوع الأعداد المركبة: تمثيلها الهندسي الخاص بمادة الرياضيات لتلاميذ الثالثة ثانوي (الشعب العلمية). الأعداد المركبة هي توسيع لمجموعة الأعداد الحقيقية وتسمح بحل جميع المعادلات الجبرية. التمثيل الهندسي للأعداد المركبة يساعد في فهم خصائصها بشكل بصري.

التمثيل الهندسي لعدد مركب

كل عدد مركب z = a + bi يمكن تمثيله في المستوي بنقطة M(a, b). محور الفواصل يمثل الجزء الحقيقي ومحور التراتيب يمثل الجزء التخيلي. يسمى هذا المستوي بمستوي أرجاند-غوس. المسافة OM تسمى معيار العدد المركب وتكتب |z| = √(a² + b²). الزاوية بين المتجه OM والمحور الحقيقي الموجب تسمى عمدة العدد المركب وتكتب arg(z).

الشكل المثلثي للعدد المركب

يمكن كتابة العدد المركب بالشكل المثلثي: z = r(cos θ + i sin θ) حيث r = |z| و θ = arg(z). هذا الشكل يسهل عمليات ضرب وقسمة الأعداد المركبة. إذا كان z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) و z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)، فإن |z1 z2| = r1 r2 و arg(z1 z2) = θ1 + θ2.

أمثلة تطبيقية

المثال الأول: العدد z = 1 + i. معياره |z| = √(1² + 1²) = √2. عمده arg(z) = π/4. إذن الشكل المثلثي: z = √2(cos π/4 + i sin π/4).

المثال الثاني: مثل العدد z = -1 + i في مستوي أرجاند. النقطة M(-1, 1). |z| = √2 و arg(z) = 3π/4.

تمارين للتدريب

1. أوجد معيار وعمدة العدد z = 2 – 2i.
2. اكتب العدد z = -√3 + i بالشكل المثلثي.
3. احسب جداء العددين z1 = 2(cos π/3 + i sin π/3) و z2 = 3(cos π/6 + i sin π/6).

خلاصة

التمثيل الهندسي للأعداد المركبة يسهل فهم العمليات عليها. الشكل المثلثي يبسط عمليات الضرب والقسمة وحساب القوى والجذور. هذا الموضوع مهم جداً في امتحان البكالوريا.

دروس ذات صلة

• درس المعادلات من الدرجة الثانية – حل المعادلات في مجموعة الأعداد المركبة.
• درس الاشتقاقية: عدد مشتق دالة – الاشتقاق في مجموعة الأعداد المركبة.