مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
📝 امتحان شهادة البكالوريا 2008 — الرياضيات — شعبة علوم تجريبية
المدة: 3 ساعات — المعامل: 5 — الشعبة: علوم تجريبية
📌 التمرين الأول (05 نقاط)
نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ:
f(x) = x³ − 3x + 1
- احسب limx→−∞ f(x) و limx→+∞ f(x).
- ادرس اتجاه تغير الدالة f ثم شكل جدول تغيراتها.
- بين أن المعادلة f(x) = 0 تقبل ثلاثة حلول حقيقية.
- أكتب معادلة المماس (T) للمنحنى (Cf) عند النقطة ذات الفاصلة x = 1.
- احسب ∫−12 f(x) dx.
📌 التمرين الثاني (05 نقاط)
نعتبر المتتالية العددية (un) المعرفة بـ:
u0 = 2 و un+1 = (2un + 1) / (un + 2)
- بين أن 1 ≤ un ≤ 2 لكل n ∈ ℕ.
- ادرس رتابة المتتالية (un).
- بين أن المتتالية (un) متقاربة ثم أوجد نهايتها ℓ.
- احسب u1 و u2 مقرباً إلى 10−2.
📌 التمرين الثالث (05 نقاط)
في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم (O; i→, j→, k→)، نعتبر النقط:
A(1, 0, 2), B(−1, 2, 1), C(0, 1, −1)
- بين أن النقط A, B, C تحدد مستوياً.
- أوجد معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).
- أوجد المسافة بين النقطة D(2, −1, 0) والمستوى (ABC).
- أوجد إسقاط D العمودي على المستوى (ABC).
📌 التمرين الرابع (05 نقاط)
صندوق يحتوي على 8 كريات: 3 حمراء، 3 خضراء و 2 زرقاء. نسحب عشوائياً ثلاث كريات في آن واحد.
- ما هو عدد السحوبات الممكنة؟
- احسب احتمال الحصول على ثلاث كريات من نفس اللون.
- احسب احتمال الحصول على كريتين حمراوين على الأقل.
- نعتبر المتغير العشوائي X الذي يساوي عدد الكريات الحمراء المسحوبة. عين قانون احتمال X ثم احسب الأمل الرياضياتي E(X).
✅ الحل النموذجي
🔹 حل التمرين الأول
- النهايات:
limx→−∞ x³ = −∞ ⇒ limx→−∞ f(x) = −∞
limx→+∞ x³ = +∞ ⇒ limx→+∞ f(x) = +∞ - اتجاه التغير:
f′(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1)
إشارة f′(x): موجبة على ]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞[، سالبة على ]−1, 1[
f متزايدة على ]−∞, −1]، متناقصة على [−1, 1]، متزايدة على [1, +∞[
f(−1) = −1 + 3 + 1 = 3
f(1) = 1 − 3 + 1 = −1 - حلول المعادلة:
f(−∞) = −∞، f(−1) = 3 > 0 ← يوجد حل α₁ ∈ ]−∞, −1[
f(−1) = 3 > 0، f(1) = −1 < 0 ← يوجد حل α₂ ∈ ]−1, 1[
f(1) = −1 < 0، f(+∞) = +∞ ← يوجد حل α₃ ∈ ]1, +∞[
إذن ثلاثة حلول حقيقية. - معادلة المماس عند x = 1:
f(1) = −1، f′(1) = 0
(T): y = f′(1)(x − 1) + f(1) ⇒ y = −1 - التكامل:
∫−12 (x³ − 3x + 1) dx = [x⁴/4 − 3x²/2 + x]−12
= (16/4 − 12/2 + 2) − (1/4 − 3/2 − 1)
= (4 − 6 + 2) − (1/4 − 3/2 − 1)
= 0 − (1/4 − 6/4 − 4/4) = 0 − (−9/4)
= 9/4
🔹 حل التمرين الثاني
- الحصر بالترجع:
• n = 0: u₀ = 2 ⇒ 1 ≤ 2 ≤ 2 ✔
• نفرض 1 ≤ un ≤ 2
un+1 = (2un + 1)/(un + 2)
على [1, 2]: الدالة φ(x) = (2x + 1)/(x + 2) متزايدة
φ(1) = 3/3 = 1، φ(2) = 5/4 = 1.25
إذن 1 ≤ un+1 ≤ 2 ✔ - الرتابة:
un+1 − un = (2un + 1)/(un + 2) − un
= (2un + 1 − un² − 2un) / (un + 2)
= (−un² + 1) / (un + 2) = (1 − un²)/(un + 2) ≤ 0
المتتالية متناقصة. - التقارب:
المتتالية محدودة من الأسفل بـ 1 ومتناقصة، إذن متقاربة نحو ℓ ≥ 1.
ℓ = (2ℓ + 1)/(ℓ + 2) ⇒ ℓ(ℓ + 2) = 2ℓ + 1 ⇒ ℓ² + 2ℓ = 2ℓ + 1 ⇒ ℓ² = 1
ℓ = 1 - حساب الحدود:
u₁ = (2×2 + 1)/(2 + 2) = 5/4 = 1.25
u₂ = (2×1.25 + 1)/(1.25 + 2) = 3.5/3.25 ≈ 1.08
🔹 حل التمرين الثالث
- تحديد المستوى:
AB→ = (−2, 2, −1)، AC→ = (−1, 1, −3)
AB→ و AC→ غير مرتبطين خطياً ⇒ A, B, C تحدد مستوياً. - المعادلة الديكارتية:
n→ = AB→ ∧ AC→ = |i→ j→ k→; −2 2 −1; −1 1 −3|
= (2×(−3) − (−1)×1, (−1)×(−1) − (−2)×(−3), (−2)×1 − 2×(−1))
= (−6 + 1, 1 − 6, −2 + 2)
= (−5, −5, 0)
المستوى (ABC): −5(x − 1) − 5(y − 0) + 0(z − 2) = 0
x + y − 1 = 0 - المسافة:
d(D, (ABC)) = |2 + (−1) − 1| / √(1² + 1²) = |0|/√2 = 0
إذن D ∈ (ABC).
🔹 حل التمرين الرابع
- عدد السحوبات:
سحب 3 كريات من 8: C₈³ = 8!/(3!×5!) = 56 سحباً ممكناً. - ثلاث كريات من نفس اللون:
• حمراء: C₃³ = 1
• خضراء: C₃³ = 1
• زرقاء: C₂³ = 0
P = (1 + 1 + 0) / 56 = 2/56 = 1/28 - كريتين حمراوين على الأقل:
P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3)
P(X = 2) = C₃² × C₅¹ / C₈³ = 3 × 5 / 56 = 15/56
P(X = 3) = C₃³ / C₈³ = 1/56
P = 15/56 + 1/56 = 16/56 = 2/7 - قانون احتمال X:
X يمكن أن يأخذ القيم 0, 1, 2, 3
P(X = 0) = C₃⁰ × C₅³ / C₈³ = 1 × 10 / 56 = 10/56
P(X = 1) = C₃¹ × C₅² / C₈³ = 3 × 10 / 56 = 30/56
P(X = 2) = 15/56
P(X = 3) = 1/56
E(X) = 0×10/56 + 1×30/56 + 2×15/56 + 3×1/56 = (30 + 30 + 3)/56 = 63/56 = 9/8
مواضيع بكالوريا مقترحة
📌 بكالوريا 2008 — الرياضيات — شعبة علوم تجريبية — الحل النموذجي — تم التحقق من النتائج.
