ثنائي القطب RL: شرح شامل مع تمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي (بكالوريا) فيزياء

الثالثة ثانوي, جديد المدونة, دروس الثانوي ضع تعليق

ثنائي القطب RL: شرح شامل مع تمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي (باكالوريا)

الوحدة: تطور جملة كهربائية – ثنائي القطب RL

📌 المستوى: الثالثة ثانوي – شعبة علوم تجريبية + رياضيات + تقني رياضي

📌 المادة: العلوم الفيزيائية (فيزياء)

📌 الباب: الكهرباء – ثنائيات الأقطاب

أهداف الدرس

في نهاية هذا الدرس، ستكون قادراً على:

✅ تحليل دارة كهربائية تحتوي على وشيعة (bobine) ذاتياً.
✅ شرح ظاهرة التأثير الذاتي (self-induction) وفهم مفهوم معامل التحريض الذاتي L.
✅ إيجاد المعادلة التفاضلية لدارة RL عند الاستجابة لرتبة توتر (établissement du courant) وعند قطع التوتر (rupture).
✅ حل المعادلة التفاضلية وإيجاد دالة شدة التيار i(t).
✅ تحديد ثابت الزمن τ = L/R وأهميته الفيزيائية.
✅ تطبيق المفاهيم على تمارين نموذجية للبكالوريا.

1. الوشيعة (الوشيعة الذاتية) — Self-Inductance Coil

1.1 تعريف الوشيعة

الوشيعة (bobine) هي ثنائي قطب كهربائي يتكون من وشيعة سلكية (ملف) لها مقاومة داخلية r (small) ومعامل تحريض ذاتي L (وحدة: هنري Henry).

رمز الوشيعة في الدارة:

  ┌───┐
  │   │     أو     ╰╯╰╯
  └───┘

1.2 ظاهرة التأثير الذاتي

عندما يمر تيار كهربائي في وشيعة، يتولد حقل مغناطيسي داخل الملف. وإذا تغيرت شدة التيار، يتغير الحقل المغناطيسي، مما يحث قوة محركة كهربائية (f.é.m) معاكسة في نفس الوشيعة — وهذا ما يسمى بالتأثير الذاتي (auto-induction).

العلاقة الأساسية:

u_b = r·i + L·(di/dt)

حيث:

u_b (V): التوتر بين طرفي الوشيعة.
r (Ω): المقاومة الداخلية للوشيعة.
L (H): معامل التحريض الذاتي للوشيعة.
di/dt (A/s): مشتق شدة التيار بالنسبة للزمن (سرعة تغير التيار).

1.3 الطاقة المخزنة في الوشيعة

تخزن الوشيعة طاقة مغناطيسية عندما يمر فيها تيار كهربائي:

E_b = ½ · L · i²

حيث i هي شدة التيار المار في الوشيعة عند اللحظة المدروسة.

2. دارة RL — الاستجابة لرتبة توتر (Établissement du courant)

2.1 وصف الدارة

نعتبر دارة كهربائية مكونة من:

مولد توتر مستمر قوته المحركة E (مقاومته الداخلية مهملة).
وشيعة ذاتية معامل تحريضها L ومقاومتها الداخلية r.
ناقل أومي (مقاومة) R.
قاطع (منبعث) K.

دارة RL عند الغلق:
(E) — K — (R) — (L,r) — (E)

2.2 المعادلة التفاضلية

بتطبيق قانون جمع التوترات (قانون كيرشوف للتوترات) في الدارة:

E = R·i + r·i + L·(di/dt)

⇒

L·(di/dt) + (R+r)·i = E

نكتب المعادلة على الصورة القياسية:

(L/(R+r))·(di/dt) + i = E/(R+r)

نعرف ثابت الزمن:

τ = L / (R+r)

2.3 حل المعادلة التفاضلية

الحل العام للمعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى هو:

i(t) = (E/(R+r)) · (1 − e^−t/τ)

التمثيل البياني:

تبدأ شدة التيار من الصفر (i(0) = 0).
تزداد تدريجياً بصورة أسية (exponentielle).
تقترب asymptotiquement من القيمة الحدية: i_∞ = E/(R+r).
عند t = τ: يصل التيار إلى 63% من قيمته الحدية.
عند t = 5τ: يصل التيار إلى 99% من قيمته الحدية (النظام الدائم).

2.4 التوتر بين طرفي الوشيعة

نعوض i(t) في العلاقة u_b = r·i + L·(di/dt):

u_b(t) = r·(E/(R+r))·(1 − e^−t/τ) + E·(R/(R+r))·e^−t/τ

إذا كانت r مهملة (r ≈ 0):

u_b(t) = E·e^−t/τ (مع τ = L/R)

3. دارة RL — قطع التوتر (Rupture du courant)

3.1 وصف الدارة

عند فتح القاطع K، يمر التيار عبر وشيعة ومقاومة R’ (دارة التفريغ).

المعادلة التفاضلية تصبح (بدون مولد):

L·(di/dt) + (R’+r)·i = 0

الحل:

i(t) = I₀ · e^−t/τ’

حيث I₀ هي شدة التيار الابتدائي لحظة الفتح، و τ’ = L/(R’+r).

4. الأهمية الفيزيائية لثابت الزمن τ

ثابت الزمن τ = L/(R+r) هو معلمة أساسية تحدد سرعة استجابة الدارة:

الزمن	نسبة التيار من القيمة الحدية
t = τ	63%
t = 2τ	86%
t = 3τ	95%
t = 5τ	99% (≈ النظام الدائم)

📐 قياس τ تجريبياً:

طريقة المماس (tangente à l’origine): ارسم المماس للمنحنى i(t) عند t=0، المماس يقطع الخط المقارب (asymptote) عند النقطة t = τ.
طريقة 63%: اقرأ الزمن الموافق لـ 63% من i_∞.

5. تمارين بكالوريا مع الحلول

التمرين 1 (بكالوريا 2021 — شعبة علوم تجريبية)

دارة RL تحتوي على مولد (E=12V, r_g≈0)، وشيعة (L=0.5H, r=5Ω)، ومقاومة (R=15Ω).

أحسب ثابت الزمن τ للدارة.
أحسب شدة التيار في النظام الدائم I_∞.
أوجد قيمة التيار عند t = τ.
حدد الطاقة المخزنة في الوشيعة في النظام الدائم.

✅ الحل:

1. ثابت الزمن:

τ = L/(R+r) = 0.5/(15+5) = 0.5/20 = 0.025 s = 25 ms

2. شدة التيار في النظام الدائم:

I_∞ = E/(R+r) = 12/20 = 0.6 A

3. التيار عند t = τ:

i(τ) = I_∞ × (1 − e⁻¹) = 0.6 × (1 − 0.368) = 0.6 × 0.632 = 0.379 A

4. الطاقة المخزنة في الوشيعة:

E_b = ½ × L × I_∞² = 0.5 × 0.5 × (0.6)² = 0.25 × 0.36 = 0.09 J

التمرين 2 (بكالوريا 2023 — شعبة تقني رياضي)

نريد تحديد معامل التحريض الذاتي L لوشيعة مجهولة بواسطة دارة RL (R=20Ω, r=2Ω). تم تسجيل التوتر u_b(t) عبر الوشيعة ووجد أن ثابت الزمن τ = 15ms.

أحسب قيمة L.
إذا علمت أن E=6V، أحسب I_∞.

✅ الحل:

1. حساب L:

τ = L/(R+r) ⇒ L = τ × (R+r) = 0.015 × (20+2) = 0.015 × 22 = 0.33 H

2. حساب I_∞:

I_∞ = E/(R+r) = 6/22 = 0.273 A

6. خلاصة ومفاهيم أساسية

📝 ما يجب تذكره:

الوشيعة تعاكس تغير التيار (تأثير ذاتي = عطالة كهربائية).
التوتر بين طرفي الوشيعة: u_b = r·i + L·(di/dt).
ثابت الزمن τ = L/(R+r): كلما زاد L أو قل R، زاد τ (أبطأ).
التيار لا يتغير لحظياً في وشيعة — يستغرق وقتاً.
في النظام الدائم، تتصرف الوشيعة كمقاومة صرفة r.
الطاقة المخزنة: E = ½ L i² — تعود للدارة عند قطع التوتر.

7. أسئلة تقويمية

اختبر فهمك بعد قراءة الدرس:

هل يمكن أن يتغير التيار في وشيعة بشكل لحظي (فجائي)؟ لماذا؟
ماذا يحدث للتيار في دارة RL إذا:

ضعفنا قيمة L؟
ضعفنا قيمة R؟
أزلنا المقاومة R فقط (R=0)؟

كيف تحدد تجريبياً قيمة τ من منحنى i(t)؟
ما دور الوشيعة في دارة كهربائية عند غلق القاطع؟ وعند فتحه؟

🔗 روابط داخلية:
المكثفة الكهربائية: شرح وتطبيقات محلولة |
دروس العلوم الفيزيائية السنة الثالثة متوسط