مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
\n
? امتحان شهادة البكالوريا 2011 — الرياضيات — شعبة علوم تجريبية
\n
المدة: 3 ساعات — المعامل: 5 — الشعبة: علوم تجريبية
\n\n
\n
? التمرين الأول (05 نقاط)
\n
نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ:
\n
f(x) = 2x + 1 − ln(x² + 1)
\n
- \n
- احسب limx→−∞ f(x) و limx→+∞ f(x).
- ادرس اتجاه تغير الدالة f.
- بين أن المنحنى (Cf) يقبل مستقيمين مقاربين مائلين.
- أوجد معادلة المماس (T) عند x = 0.
- احسب ∫01 f(x) dx.
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? التمرين الثاني (05 نقاط)
\n
نعتبر الدالة g المعرفة على [0, +∞[ بـ:
\n
g(x) = x − ln(1 + x²)
\n
- \n
- ادرس تغيرات الدالة g.
- استنتج أن g(x) ≥ 0 لكل x ≥ 0.
- بين أن ln(1 + x²) ≤ x لكل x ≥ 0.
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? التمرين الثالث (05 نقاط)
\n
نعتبر المتتالية (un) المعرفة بـ:
\n
u0 = 4 و un+1 = (3un + 2) / (un + 2)
\n
- \n
- بين أن un > √2 لكل n ∈ ℕ.
- ادرس رتابة المتتالية (un).
- بين أن (un) متقاربة وأوجد نهايتها.
- احسب u1 و u2.
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? التمرين الرابع (05 نقاط)
\n
صندوق يحتوي على 6 كريات حمراء و 4 كريات بيضاء. نسحب 3 كريات في آن واحد.
\n
- \n
- ما هو عدد السحوبات الممكنة؟
- احسب احتمال الحصول على 3 كريات حمراء.
- احسب احتمال الحصول على كريتين حمراوين على الأقل.
- نعتبر X: عدد الكريات الحمراء المسحوبة. عين قانون احتمال X ثم احسب E(X).
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
✅ الحل النموذجي
\n\n
\n
? حل التمرين الأول
\n
- \n
- النهايات:
\nlimx→−∞ 2x + 1 = −∞، limx→−∞ ln(x² + 1) = +∞ ⇒ limx→−∞ f(x) = −∞
\nlimx→+∞ 2x + 1 = +∞، limx→+∞ ln(x² + 1) ~ 2ln x ⇒ limx→+∞ f(x) = +∞ - اتجاه التغير:
\nf′(x) = 2 − 2x/(x² + 1) = (2(x² + 1) − 2x)/(x² + 1) = (2x² − 2x + 2)/(x² + 1) = 2(x² − x + 1)/(x² + 1)
\nx² − x + 1 > 0 ∀x ∈ ℝ (Δ = 1 − 4 = −3 < 0)
\nf′(x) > 0، f متزايدة تماماً على ℝ. - المستقيمان المقاربان:
\nlimx→±∞ [f(x) − (2x + 1)] = limx→±∞ (−ln(x² + 1)) = −∞
\nإذن لا يوجد مستقيم مقارب مائل.
\nبل يوجد فرعان شلجميان. - المماس عند x = 0:
\nf(0) = 1 − ln(1) = 1، f′(0) = 2
\n(T): y = 2x + 1 - التكامل:
\n∫01 (2x + 1 − ln(x² + 1)) dx = [x² + x]01 − ∫01 ln(x² + 1) dx
\n= 2 − [x ln(x² + 1)]01 + ∫01 (2x²)/(x² + 1) dx
\n= 2 − ln 2 + 2∫01 (1 − 1/(x² + 1)) dx
\n= 2 − ln 2 + 2[x − arctan x]01
\n= 2 − ln 2 + 2(1 − π/4) = 4 − π/2 − ln 2
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? حل التمرين الثاني
\n
- \n
- تغيرات g:
\ng′(x) = 1 − 2x/(1 + x²) = (1 + x² − 2x)/(1 + x²) = (x − 1)²/(1 + x²) ≥ 0
\ng متزايدة على [0, +∞[.
\ng(0) = 0 − ln(1) = 0 - الإشارة:
\ng متزايدة و g(0) = 0 ⇒ g(x) ≥ 0 لكل x ≥ 0.
\nأي x − ln(1 + x²) ≥ 0. - النتيجة:
\nإذن ln(1 + x²) ≤ x لكل x ≥ 0.
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? حل التمرين الثالث
\n
- \n
- الحصر:
\nنبرهن un > √2 بالترجع.
\nu₀ = 4 > √2 ✔
\nنفرض un > √2
\nun+1 − √2 = (3un + 2)/(un + 2) − √2
\n= (3un + 2 − √2 un − 2√2)/(un + 2)
\n= (un(3 − √2) + 2(1 − √2))/(un + 2)
\nبما أن un > √2، البسط > 0، إذن un+1 > √2 ✔ - الرتابة:
\nun+1 − un = (3un + 2)/(un + 2) − un = (3un + 2 − un² − 2un)/(un + 2) = (−un² + un + 2)/(un + 2)
\nالبسط = −(un² − un − 2) = −(un − 2)(un + 1)
\nبما أن un > √2 > 2? لا، √2 ≈ 1.41. إذن un يمكن أن يكون أكبر أو أصغر من 2.
\nفي حالتنا u₀ = 4 > 2، un+1 − un < 0، المتتالية متناقصة. - التقارب:
\nمتناقصة ومحدودة من الأسفل بـ √2 ⇒ متقاربة نحو ℓ.
\nℓ = (3ℓ + 2)/(ℓ + 2) ⇒ ℓ(ℓ + 2) = 3ℓ + 2 ⇒ ℓ² + 2ℓ = 3ℓ + 2 ⇒ ℓ² − ℓ − 2 = 0
\nℓ = 2 أو ℓ = −1. ℓ ≥ √2، إذن ℓ = 2. - حساب الحدود:
\nu₁ = (12 + 2)/(4 + 2) = 14/6 = 7/3
\nu₂ = (3×7/3 + 2)/(7/3 + 2) = (7 + 2)/(7/3 + 6/3) = 9/(13/3) = 27/13
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? حل التمرين الرابع
\n
- \n
- عدد السحوبات:
\nC₁₀³ = 120 سحباً. - 3 كريات حمراء:
\nP = C₆³/C₁₀³ = 20/120 = 1/6 - كريتين حمراوين على الأقل:
\nP(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3)
\nP(X = 2) = C₆² × C₄¹ / C₁₀³ = 15 × 4 / 120 = 60/120 = 1/2
\nP(X = 3) = 20/120 = 1/6
\nP = 1/2 + 1/6 = 2/3 - قانون احتمال X:
\nP(X = 0) = C₆⁰ × C₄³ / C₁₀³ = 1 × 4 / 120 = 4/120
\nP(X = 1) = C₆¹ × C₄² / C₁₀³ = 6 × 6 / 120 = 36/120
\nP(X = 2) = 60/120
\nP(X = 3) = 20/120
\nE(X) = 0×4/120 + 1×36/120 + 2×60/120 + 3×20/120 = (36 + 120 + 60)/120 = 216/120 = 9/5 = 1.8
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? بكالوريا 2011 — الرياضيات — شعبة علوم تجريبية — الحل النموذجي.
\n
\n
🔗 مواضيع بكالوريا مقترحة
- موضوع امتحان بكالوريا 2015 في الرياضيات مع الحل – شعبة علوم تجريبية
- موضوع امتحان بكالوريا 2021 في الرياضيات مع الحل – شعبة علوم تجريبية
- موضوع امتحان بكالوريا 2016 في الرياضيات مع الحل – شعبة علوم تجريبية
