مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
\n
? امتحان شهادة البكالوريا 2012 — الرياضيات — شعبة علوم تجريبية
\n
المدة: 3 ساعات — المعامل: 5 — الشعبة: علوم تجريبية
\n\n
\n
? التمرين الأول (05 نقاط)
\n
نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ:
\n
f(x) = (x² + 1)e−x
\n
- \n
- احسب limx→−∞ f(x) و limx→+∞ f(x).
- ادرس اتجاه تغير الدالة f ثم شكل جدول تغيراتها.
- بين أن المنحنى (Cf) يقبل نقطتي انعطاف.
- أكتب معادلة المماس (T) عند النقطة ذات الفاصلة x = 0.
- احسب ∫01 f(x) dx.
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? التمرين الثاني (05 نقاط)
\n
نعتبر المتتالية (un) المعرفة بـ:
\n
u0 = 0 و un+1 = (2un + 3) / (un + 4)
\n
- \n
- بين أن 0 ≤ un < 1 لكل n ∈ ℕ.
- ادرس رتابة المتتالية (un).
- بين أن (un) متقاربة وأوجد نهايتها.
- احسب u1 و u2.
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? التمرين الثالث (05 نقاط)
\n
في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم، نعتبر المستويين:
\n
(P): 2x − y + 3z − 5 = 0
(Q): x + 2y − z + 1 = 0
\n
- \n
- بين أن (P) و (Q) متقاطعان.
- أوجد تمثيلاً وسيطياً للمستقيم (Δ) تقاطع (P) و (Q).
- أوجد المسافة بين النقطة A(1, −2, 0) والمستوى (P).
- أوجد إسقاط A العمودي على (P).
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? التمرين الرابع (05 نقاط)
\n
يرمي لاعب نرداً متوازناً مرتين متتاليتين. نعتبر المتغير العشوائي X الذي يساوي القيمة المطلقة للفرق بين الرقمين الظاهرين.
\n
- \n
- ما هو عدد النتائج الممكنة؟
- حدد قانون احتمال X.
- احسب احتمال X ≥ 3.
- احسب الأمل الرياضياتي E(X).
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
✅ الحل النموذجي
\n\n
\n
? حل التمرين الأول
\n
- \n
- النهايات:
\nlimx→−∞ x² + 1 = +∞، limx→−∞ e−x = +∞ ⇒ limx→−∞ f(x) = +∞
\nlimx→+∞ (x² + 1)e−x = 0 (نمو مقارن) - اتجاه التغير:
\nf′(x) = 2xe−x − (x² + 1)e−x = e−x(2x − x² − 1) = −e−x(x² − 2x + 1) = −e−x(x − 1)²
\nf′(x) ≤ 0، f متناقصة على ℝ. - نقط الانعطاف:
\nf″(x) = e−x[(x − 1)² − 2(x − 1)] = e−x(x − 1)(x − 1 − 2) = e−x(x − 1)(x − 3)
\nf″(x) = 0 ⇔ x = 1 أو x = 3
\nنقطتا انعطاف: (1, f(1)) و (3, f(3)). - المماس عند x = 0:
\nf(0) = 1، f′(0) = −1
\n(T): y = −x + 1 - التكامل:
\n∫01 (x² + 1)e−x dx — بالتكامل بالتجزئة
\n= [−(x² + 1)e−x]01 + ∫01 2xe−x dx
\n= (−2/e + 1) + [−2xe−x]01 + ∫01 2e−x dx
\n= (−2/e + 1) + (−2/e) + [−2e−x]01
\n= 1 − 4/e + (−2/e + 2) = 3 − 6/e
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? حل التمرين الثاني
\n
- \n
- الحصر بالترجع:
\n• n = 0: 0 ≤ 0 < 1 ✔
\n• نفرض 0 ≤ un < 1
\nun+1 = (2un + 3)/(un + 4)
\nφ(x) = (2x + 3)/(x + 4) متزايدة على [0, 1]\nφ(0) = 3/4، φ(1) = 5/5 = 1 ⇒ 0 ≤ un+1 < 1 ✔ - الرتابة:
\nun+1 − un = (2un + 3)/(un + 4) − un
\n= (2un + 3 − un² − 4un)/(un + 4)
\n= (−un² − 2un + 3)/(un + 4)
\nالبسط: −(un² + 2un − 3) = −(un + 3)(un − 1) > 0 على [0, 1[
\nالمتتالية متزايدة. - التقارب:
\nمتزايدة ومحدودة من الأعلى بـ 1 ⇒ متقاربة نحو ℓ.
\nℓ = (2ℓ + 3)/(ℓ + 4) ⇒ ℓ(ℓ + 4) = 2ℓ + 3 ⇒ ℓ² + 4ℓ = 2ℓ + 3 ⇒ ℓ² + 2ℓ − 3 = 0
\nℓ = 1 أو ℓ = −3. ℓ ≥ 0، إذن ℓ = 1. - حساب الحدود:
\nu₁ = 3/4 = 0.75
\nu₂ = (2×0.75 + 3)/(0.75 + 4) = (1.5 + 3)/(4.75) = 4.5/4.75 ≈ 0.947
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? حل التمرين الثالث
\n
- \n
- تقاطع المستويين:
\nnP→ = (2, −1, 3)، nQ→ = (1, 2, −1)
\nغير مرتبطين خطياً ⇒ (P) و (Q) متقاطعان. - التمثيل الوسيطي:
\nنحل النظام: {2x − y + 3z = 5, x + 2y − z = −1}
\nنضع z = t:
\n{2x − y = 5 − 3t, x + 2y = −1 + t}
\nبالحل: x = (9 − 5t)/5، y = (−7 + 5t)/5
\n(Δ): {x = 9/5 − t, y = −7/5 + t, z = t, t ∈ ℝ} - المسافة:
\nd(A, (P)) = |2(1) − (−2) + 3(0) − 5| / √(4 + 1 + 9) = |2 + 2 − 5|/√14 = 1/√14 - الإسقاط العمودي:
\nA′ = A + t·nP→ حيث t بحيث A′ ∈ (P):
\n2(1 + 2t) − (−2 − t) + 3(0 + 3t) − 5 = 0
\n2 + 4t + 2 + t + 9t − 5 = 0 ⇒ 14t + 4 − 5 = 0 ⇒ 14t = 1 ⇒ t = 1/14
\nA′ = (1 + 2/14, −2 − 1/14, 0 + 3/14) = (8/7, −29/14, 3/14)
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? حل التمرين الرابع
\n
- \n
- عدد النتائج:
\n6 × 6 = 36 نتيجة ممكنة. - قانون احتمال X:
\nX = |a − b|، X ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}
\nP(X = 0) = 6/36 = 1/6
\nP(X = 1) = 10/36 = 5/18
\nP(X = 2) = 8/36 = 2/9
\nP(X = 3) = 6/36 = 1/6
\nP(X = 4) = 4/36 = 1/9
\nP(X = 5) = 2/36 = 1/18 - X ≥ 3:
\nP(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 6/36 + 4/36 + 2/36 = 12/36 = 1/3 - الأمل الرياضياتي:
\nE(X) = 0×1/6 + 1×5/18 + 2×2/9 + 3×1/6 + 4×1/9 + 5×1/18
\n= 0 + 5/18 + 4/9 + 3/6 + 4/9 + 5/18
\n= (5 + 8 + 9 + 8 + 5)/18 = 35/18
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? بكالوريا 2012 — الرياضيات — شعبة علوم تجريبية — الحل النموذجي.
\n
\n
🔗 مواضيع بكالوريا مقترحة
- موضوع امتحان بكالوريا 2016 في الرياضيات مع الحل – شعبة تسيير واقتصاد
- موضوع امتحان بكالوريا 2024 في الرياضيات مع الحل — شعبة علوم تجريبية
- موضوع امتحان بكالوريا 2023 في الرياضيات مع الحل – شعبة علوم تجريبية
