الاشتقاقية: قواعد الاشتقاق وتطبيقاتها مع تمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي (بكالوريا) – المنهاج الجزائري

أهداف الدرس

• تعريف الاشتقاق وفهم مفهومه الهندسي
• حساب مشتقة دالة عددية باستخدام القواعد الأساسية
• تحديد معادلة المماس لمنحنى دالة
• تطبيق الاشتقاق لدراسة تغيرات الدوال

1. تعريف الاشتقاق

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال مفتوح I و x₀ ∈ I. نقول إن f قابلة للاشتقاق في x₀ إذا كانت النهاية التالية موجودة ومنتهية: lim(h→0) [f(x₀+h) – f(x₀)]/h. هذه النهاية تسمى العدد المشتق للدالة f في x₀ ويرمز له بـ f'(x₀). هندسياً، f'(x₀) يمثل ميل المماس للمنحنى عند النقطة (x₀, f(x₀)).

2. قواعد الاشتقاق الأساسية

إذا كانت f و g دالتين قابلتين للاشتقاق في x، فإن:

• مشتقة المجموع: (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)
• مشتقة الجداء: (f × g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
• مشتقة الخارج: (f/g)'(x) = [f'(x)g(x) – f(x)g'(x)] / [g(x)]² حيث g(x) ≠ 0
• مشتقة مركب دالتين: (g ∘ f)'(x) = g'(f(x)) × f'(x)

3. مشتقات الدوال المرجعية

• f(x) = c (ثابت) → f'(x) = 0
• f(x) = xⁿ, n∈ℚ* → f'(x) = nxⁿ⁻¹
• f(x) = √x → f'(x) = 1/(2√x)
• f(x) = sin x → f'(x) = cos x
• f(x) = cos x → f'(x) = -sin x
• f(x) = eˣ → f'(x) = eˣ
• f(x) = ln x → f'(x) = 1/x

4. معادلة المماس

معادلة المماس للمنحنى (C_f) عند النقطة ذات الفاصلة x₀ هي: y = f'(x₀)(x – x₀) + f(x₀)

5. تطبيقات الاشتقاق في دراسة الدوال

تتيح الاشتقاقية إيجاد اتجاه تغير دالة: إذا كانت f'(x) > 0 على مجال I فإن f تزايدية قطعاً على I. وإذا كانت f'(x) < 0 على مجال I فإن f تناقصية قطعاً على I.

تمرين بكالوريا محلول

تمرين: لتكن f(x) = x³ – 3x + 1 معرفة على ℝ

1. احسب f'(x)
2. ادرس اتجاه تغير f
3. اكتب معادلة المماس عند x₀ = 1

الحل:

1. f'(x) = 3x² – 3 = 3(x² – 1) = 3(x – 1)(x + 1)

2. إشارة f'(x): f'(x) = 0 ⇔ x = -1 أو x = 1
على ]-∞, -1[: f'(x) > 0 → f تزايدية
على ]-1, 1[: f'(x) < 0 → f تناقصية
على ]1, +∞[: f'(x) > 0 → f تزايدية
إذن f تبلغ قيمة حدية عظمى محلية عند x = -1 وقيمة حدية صغرى محلية عند x = 1.

3. f(1) = 1 – 3 + 1 = -1 و f'(1) = 3 – 3 = 0
معادلة المماس: y = 0(x – 1) + (-1) أي y = -1.

خلاصة

الاشتقاق أداة أساسية في التحليل الرياضي تمكن من حساب معدل التغير اللحظي للدوال ودراسة اتجاه تغيرها. إتقان قواعد الاشتقاق شرط أساسي لنجاح في امتحان البكالوريا.

📍 دروس مشابهة:

• دراسة الدوال العددية: مجموعة التعريف والنهايات والاشتقاق
• النهايات والاستمرارية: شرح مع تمارين بكالوريا محلولة