الجداء المتجهي والجداء المختلط في الفضاء: شرح شامل مع تمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي (بكالوريا) – المنهاج الجزائري

أهداف الدرس

• تعريف الجداء المتجهي لمتجهين في الفضاء
• فهم الخصائص الهندسية للجداء المتجهي
• تطبيق الجداء المتجهي لحساب المساحات والحجوم
• تعريف الجداء المختلط واستخداماته

1. تعريف الجداء المتجهي

ليكن u(v₁, v₂, v₃) و w(w₁, w₂, w₃) متجهين في الفضاء ℝ³. الجداء المتجهي u∧w (أو u×w) هو متجه يعرف بالعلاقة: u∧w = (v₂w₃ – v₃w₂, v₃w₁ – v₁w₃, v₁w₂ – v₂w₁)

يمكن التعبير عنه باستخدام المحدد: u∧w = |i j k; v₁ v₂ v₃; w₁ w₂ w₃|

2. الخصائص الهندسية للجداء المتجهي

• u∧w متجه عمودي على كل من u و w
• طويلة: ||u∧w|| = ||u|| × ||w|| × sin θ حيث θ الزاوية بين u و w
• اتجاهه يخضع لقاعدة اليد اليمنى
• u∧w = 0 ⇔ u و w مرتبطان خطياً (متوازيان)

3. خصائص الجداء المتجهي

• تبادل إشارة: u∧w = -w∧u (غير تبديلي)
• توزيعية: u∧(v + w) = u∧v + u∧w
• متجانسة: (λu)∧w = λ(u∧w)
• متجه الناظم: u∧w يعطي متجهاً ناظمياً للمستوى المولد بـ u و w

4. مساحة متوازي أضلاع

مساحة متوازي الأضلاع المبنى على u و w تساوي: A = ||u∧w|| = ||u|| × ||w|| × sin θ

5. الجداء المختلط

الجداء المختلط لثلاثة متجهات u و v و w يعرف بـ: (u∧v)·w = u·(v∧w) ويساوي المحدد: |u₁ u₂ u₃; v₁ v₂ v₃; w₁ w₂ w₃|

قيمة الجداء المختلط تساوي حجم متوازي السطوح المبنى على المتجهات u و v و w بإشارة (+ أو -).

تمرين بكالوريا محلول

تمرين: ليكن u(2, 1, -1) و v(1, -1, 0) و w(1, 2, 1). احسب: 1. u∧v 2. (u∧v)·w

الحل:

1. u∧v = |i j k; 2 1 -1; 1 -1 0| = i(1×0 – (-1)×(-1)) – j(2×0 – (-1)×1) + k(2×(-1) – 1×1) = i(0 – 1) – j(0 + 1) + k(-2 – 1) = -i – j – 3k = (-1, -1, -3)

2. (u∧v)·w = (-1)×1 + (-1)×2 + (-3)×1 = -1 – 2 – 3 = -6
حجم متوازي السطوح = |(u∧v)·w| = 6 وحدات مكعبة.

خلاصة

الجداء المتجهي والجداء المختلط أدوات أساسية في الهندسة الفضائية لحساب المساحات والحجوم ودراسة العلاقات بين المستقيمات والمستويات في الفضاء.

📍 دروس مشابهة:

• الهندسة في الفضاء: المستقيمات والمستويات مع تمارين بكالوريا محلولة
• الهندسة التحليلية في المستوي: المستقيمات والدوائر مع تمارين بكالوريا محلولة