النواس المرن: دراسة الحركة التوافقية البسيطة مع تمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي (بكالوريا) – المنهاج الجزائري

أهداف الدرس

• دراسة حركة النواس المرن (نابض) في غياب الاحتكاك
• إيجاد المعادلة التفاضلية للحركة التوافقية البسيطة
• حساب الدور الخاص للنواس المرن
• تطبيق مبدأ انحفاظ الطاقة الميكانيكية

1. تعريف النواس المرن

النواس المرن نظام يتكون من نابض (زنبرك) مرن وكتلة m مثبتة في نهايته. عند إزاحة الكتلة عن موضع توازنها وإطلاقها، تخضع لقوة إرجاع حسب قانون هوك: F = -kx حيث k ثابت المرونة و x الاستطالة.

2. المعادلة التفاضلية للحركة

بتطبيق قانون نيوتن الثاني: ΣF = ma، نحصل على: -kx = m d²x/dt²

نكتبها على الشكل: d²x/dt² + ω₀²x = 0 حيث ω₀ = √(k/m) هي النبض الخاص.

حل هذه المعادلة هو: x(t) = Xₘ cos(ω₀t + φ) حيث Xₘ السعة القصوى و φ الطور الابتدائي.

3. الدور الخاص والتردد

الدور الخاص: T₀ = 2π√(m/k) (بالثانية)
التردد الخاص: f₀ = 1/T₀ = (1/2π)√(k/m) (بالهرتز)

ملاحظة: الدور الخاص لا يعتمد على سعة الاهتزاز بل على كتلة الجسم وثابت المرونة.

4. الطاقة في النواس المرن

الطاقة الحركية: E_c = ½mv²
الطاقة الكامنة المرنة: E_pe = ½kx²
الطاقة الميكانيكية: E_m = E_c + E_pe = ½kXₘ² = ثابتة (في غياب الاحتكاك)

تمرين بكالوريا محلول

تمرين: نابض ثابت مرونته k = 40 N/m يحمل كتلة m = 0.1 kg. نزيح الكتلة مسافة Xₘ = 5 cm عن موضع التوازن ثم نطلقها. احسب:

1. الدور الخاص T₀
2. النبض الخاص ω₀
3. الطاقة الميكانيكية
4. السرعة القصوى للكتلة

الحل:

1. T₀ = 2π√(m/k) = 2π√(0.1/40) = 2π√(0.0025) = 2π×0.05 = 0.314 s

2. ω₀ = √(k/m) = √(40/0.1) = √400 = 20 rad/s

3. E_m = ½kXₘ² = 0.5×40×(0.05)² = 20×0.0025 = 0.05 J

4. عند مرور الكتلة بموضع التوازن (x=0)، الطاقة كلها حركية: ½mv²ₘₐₓ = E_m
vₘₐₓ = √(2E_m/m) = √(2×0.05/0.1) = √1 = 1 m/s

خلاصة

النواس المرن نظام تذبذبي بسيط يخضع للحركة التوافقية البسيطة. دوره الخاص يعتمد فقط على الكتلة وثابت المرونة، وطاقته الميكانيكية محفوظة في غياب الاحتكاك. فهم هذا النظام ضروري لدراسة الظواهر التذبذبية في الفيزياء.

📍 دروس مشابهة:

• طاقة الوضع المرنة: دراسة شاملة مع تمارين بكالوريا محلولة
• السقوط الرأسي لجسم صلب: دراسة حركة الأجسام في مجال الجاذبية