شحن وتفريغ المكثفة الكهربائية (ثنائي القطب RC) — العلوم الفيزيائية — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري

شحن وتفريغ المكثفة الكهربائية (ثنائي القطب RC) – العلوم الفيزيائية

الأهداف التعليمية:

• التعرف على تركيب المكثفة الكهربائية ودورها في الدارات الكهربائية.
• دراسة ظاهرة شحن المكثفة عبر ناقل أومي في دارة RC.
• دراسة ظاهرة تفريغ المكثفة في ناقل أومي.
• إيجاد المعادلات التفاضلية لشحن وتفريغ المكثفة وحلها.
• تحديد ثابت الزمن τ (tau) وأهميته الفيزيائية.
• تطبيق المعارف في تمارين محلولة.

1. تعريف المكثفة الكهربائية

المكثفة (Condensateur) هي عنصر كهربائي يخزن الطاقة الكهربائية في شكل مجال كهربائي. تتكون من صفيحتين معدنيتين متقابلتين (اللبوسين) تفصل بينهما مادة عازلة (ديالكتريك). سعة المكثفة C تقاس بالفاراد (F)، وعادة ما تكون قيمتها صغيرة (μF، nF، pF). المكثفة تسمح بمرور التيار المتناوب وتمنع مرور التيار المستمر بعد شحنها.

2. شحن المكثفة في دارة RC

عند وصل مكثفة مشحونة ابتدائياً (q₀ = 0) بمولد توتر ثابت E عبر ناقل أومي مقاومته R، تبدأ المكثفة بالشحن وفق المعادلة التفاضلية التالية:

\[
E = R \cdot i(t) + \frac{q(t)}{C}
\]

حيث i(t) = dq/dt. إذن:

\[
RC \cdot \frac{du_C(t)}{dt} + u_C(t) = E
\]

حل المعادلة التفاضلية هو:

\[
u_C(t) = E(1 – e^{-t/RC})
\]

حيث u_C(t) هو التوتر بين طرفي المكثفة عند اللحظة t. ثابت الزمن τ = RC هو الزمن اللازم لشحن المكثفة بنسبة 63% من قيمتها النهائية (τ = RC).

مثال:

إذا كان R = 1 kΩ و C = 1000 μF، فإن τ = RC = 10⁻³ × 10⁻³ = 1 ثانية. بعد 5τ (5 ثوانٍ)، تكون المكثفة مشحونة بنسبة تزيد عن 99%.

3. تفريغ المكثفة في ناقل أومي

عند فصل المكثفة عن المولد ووصلها مباشرة مع ناقل أومي (دارة RC فقط)، تفرغ المكثفة شحنتها وفق المعادلة:

\[
RC \cdot \frac{du_C(t)}{dt} + u_C(t) = 0
\]

حلها:

\[
u_C(t) = u_C(0) \cdot e^{-t/RC}
\]

إذا كانت المكثفة مشحونة بالكامل في البداية (u_C(0) = E)، فإن:

\[
u_C(t) = E \cdot e^{-t/RC}
\]

4. ثابت الزمن τ وأهميته

ثابت الزمن τ = RC يحدد سرعة شحن أو تفريغ المكثفة:

• عند t = τ: شحن → u_C = 0.63E، تفريغ → u_C = 0.37E
• عند t = 3τ: شحن → u_C = 0.95E، تفريغ → u_C = 0.05E
• عند t = 5τ: شحن → u_C ≈ E (مشحونة بالكامل)، تفريغ → u_C ≈ 0 (فارغة)

يمكن تحديد τ بيانياً عن طريق رسم المماس للمنحنى عند t = 0، حيث يتقاطع المماس مع الخط الأفقي (E) عند النقطة t = τ.

5. تمرين محلول

التمرين: دارة RC تتكون من مكثفة C = 200 μF وناقل أومي R = 5 kΩ ومولد توتر E = 12 V. احسب: أ) ثابت الزمن τ. ب) التوتر بين طرفي المكثفة بعد 1 ثانية من بدء الشحن.

الحل:

أ) τ = R × C = 5000 × 200 × 10⁻⁶ = 5000 × 0.0002 = 1 ثانية

ب) u_C(1s) = E(1 – e^{-1/1}) = 12 × (1 – e⁻¹) = 12 × (1 – 0.368) = 12 × 0.632 = 7.58 V

أي أن المكثفة وصلت إلى 63% من شحنها الكامل بعد 1 ثانية.

الخلاصة:

• المكثفة عنصر كهربائي يخزن الطاقة في مجال كهربائي.
• ثابت الزمن τ = RC يحدد سرعة شحن وتفريغ المكثفة.
• شحن المكثفة يتبع منحنياً أسياً u_C(t) = E(1 – e^{-t/τ}).
• تفريغ المكثفة يتبع منحنياً أسياً u_C(t) = E · e^{-t/τ}.
• هذا الموضوع أساسي لفهم دارات التيار المتناوب والترشيح الإلكتروني.

📍 دروس مشابهة:

• الحث الكهرومغناطيسي: قانون فاراداي وقانون لنز
• الطاقة الحركية والطاقة الكامنة الثقالية: قانون انحفاظ الطاقة