المعادلات والمتراجحات من الدرجة الأولى والثانية مع تمارين محلولة – الأولى ثانوي (رياضيات) – المنهاج الجزائري

أهداف الدرس

• حل المعادلات من الدرجة الأولى والثانية
• حل المتراجحات من الدرجة الأولى والثانية
• تمثيل مجموعة الحلول على المستقيم العددي
• تطبيق المعادلات والمتراجحات في مسائل الحياة اليومية

1. المعادلة من الدرجة الأولى

المعادلة من الدرجة الأولى هي معادلة من الشكل ax + b = 0 حيث a ≠ 0. حلها: x = -b/a

مثال: حل 3x – 9 = 0
3x = 9 → x = 3. مجموعة الحلول: S = {3}

2. المعادلة من الدرجة الثانية

المعادلة من الدرجة الثانية تكتب على الشكل: ax² + bx + c = 0 حيث a ≠ 0

نحسب المميز Δ = b² – 4ac

• إذا كان Δ > 0: للمعادلة حلان حقيقيان: x₁ = (-b – √Δ)/2a و x₂ = (-b + √Δ)/2a
• إذا كان Δ = 0: للمعادلة حل مضاعف: x₀ = -b/2a
• إذا كان Δ < 0: لا توجد حلول حقيقية (مجموعة الحلول ∅ في ℝ)

3. المتراجحة من الدرجة الأولى

المتراجحة من الدرجة الأولى تكتب على الشكل ax + b > 0 (أو ≥ أو < أو ≤)

مثال: 2x – 6 < 0
2x < 6 → x < 3 → S = ]-∞, 3[

ملاحظة: عند الضرب أو القسمة على عدد سالب، تنعكس إشارة المتراجحة.

4. المتراجحة من الدرجة الثانية

لحل متراجحة من الدرجة الثانية ax² + bx + c > 0 (أو ≥ أو < أو ≤):

1. نحسب المميز Δ ونجد جذور المعادلة ax² + bx + c = 0 (إن وجدت)
2. نشكل جدول إشارة ثلاثي الحدود
3. نحدد مجموعة الحلول حسب إشارة المتراجحة

قاعدة إشارة ثلاثي الحدود:
إذا كان Δ > 0: إشارة a خارج الجذرين، وإشارة -a بين الجذرين.
إذا كان Δ = 0: إشارة a في كل مكان عدا عند الجذر (حيث = 0).
إذا كان Δ < 0: إشارة a في كل مكان (لا يوجد جذور).

5. تطبيقات

المعادلات والمتراجحات تستخدم في حل مسائل متنوعة مثل: حساب التكاليف والأرباح، مسائل السرعة والمسافة والزمن، مسائل الهندسة (المساحات والمحيطات)، ومسائل الاقتصاد (العرض والطلب).

تمرين محلول

تمرين: حل في ℝ المعادلة والمتراجحة التاليتين:

1. x² – 5x + 6 = 0
2. -x² + 3x – 2 ≥ 0

الحل:

1. Δ = b² – 4ac = 25 – 24 = 1 > 0
x₁ = (5 – 1)/2 = 2، x₂ = (5 + 1)/2 = 3
S = {2, 3}

2. Δ = 9 – 8 = 1 > 0. الجذران: x₁ = (-3 + 1)/(-2) = 1، x₂ = (-3 – 1)/(-2) = 2
إشارة a = -1 (سالبة) → خارج الجذرين إشارة سالبة، بين الجذرين إشارة موجبة
المطلوب ≥ 0 ← S = [1, 2]

خلاصة

حل المعادلات والمتراجحات مهارة أساسية في الرياضيات. نستخدم المميز Δ لحل معادلات الدرجة الثانية، وجدول الإشارة لحل المتراجحات. هذه المفاهيم تمهد لدراسة الدوال والتحليل الرياضي في السنوات القادمة.

📍 دروس مشابهة:

• الدوال المرجعية: الدوال الخطية والتآلفية والتربيعية – الأولى ثانوي
• المعادلات من الدرجة الثانية: شرح شامل مع تمارين محلولة – الأولى ثانوي