النشر والتحليل باستعمال المتطابقات الشهيرة — الأولى ثانوي (رياضيات) — المنهاج الجزائري

النشر والتحليل باستعمال المتطابقات الشهيرة – الأولى ثانوي (رياضيات)

الأهداف التعليمية:

• التعرف على المتطابقات الشهيرة الثلاث الأساسية.
• استعمال المتطابقات الشهيرة في نشر عبارات جبرية.
• استعمال المتطابقات الشهيرة في تحليل عبارات جبرية إلى عوامل.
• تطبيق النشر والتحليل في حل معادلات من الدرجة الثانية.
• حل تمارين متنوعة ومحلولة.

1. المتطابقات الشهيرة الأساسية

المتطابقات الشهيرة (Identités Remarquables) هي ثلاث قواعد أساسية في الجبر تستخدم لنشر وتحليل العبارات الجبرية:

المتطابقة 1: مربع مجموع حدين

(a + b)² = a² + 2ab + b²

المتطابقة 2: مربع فرق حدين

(a – b)² = a² – 2ab + b²

المتطابقة 3: فرق مربعين (المنقوص من مربعين)

a² – b² = (a + b)(a – b)

2. النشر باستعمال المتطابقات الشهيرة

النشر (Développement) يعني تحويل جداء إلى مجموع حدود جبرية. تستخدم المتطابقات الشهيرة لنشر العبارات بسرعة دون الحاجة إلى الضرب المباشر.

أمثلة تطبيقية:

مثال 1: انشر (2x + 3)²

نستخدم المتطابقة (a + b)² = a² + 2ab + b² حيث a = 2x و b = 3:

(2x + 3)² = (2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9

مثال 2: انشر (3x – 5)²

نستخدم (a – b)² = a² – 2ab + b² حيث a = 3x و b = 5:

(3x – 5)² = (3x)² – 2(3x)(5) + 5² = 9x² – 30x + 25

مثال 3: انشر (x + 4)(x – 4)

نستخدم a² – b² = (a + b)(a – b) بالعكس: (x + 4)(x – 4) = x² – 4² = x² – 16

3. التحليل إلى العوامل باستعمال المتطابقات الشهيرة

التحليل (Factorisation) هو عملية عكسية للنشر، أي تحويل مجموع جبري إلى جداء عوامل.

أمثلة تطبيقية:

مثال 1: حلل x² + 6x + 9

نلاحظ أن x² + 6x + 9 = x² + 2(x)(3) + 3² = (x + 3)²

مثال 2: حلل 4x² – 12x + 9

4x² – 12x + 9 = (2x)² – 2(2x)(3) + 3² = (2x – 3)²

مثال 3: حلل x² – 25

x² – 25 = (x)² – 5² = (x + 5)(x – 5)

4. تطبيقات: حل معادلات باستعمال المتطابقات الشهيرة

مثال: حل المعادلة x² – 9 = 0

نحلل: x² – 9 = (x + 3)(x – 3) = 0

إما x + 3 = 0 → x = -3، أو x – 3 = 0 → x = 3

مجموعة الحلول: S = {-3, 3}

مثال آخر: حل x² – 6x + 9 = 0

x² – 6x + 9 = (x – 3)² = 0 → x – 3 = 0 → x = 3

مجموعة الحلول: S = {3}

5. تمارين إضافية محلولة

التمرين 1: انشر (5x + 2y)²

الحل: = 25x² + 20xy + 4y²

التمرين 2: انشر (2x – 7)(2x + 7)

الحل: = 4x² – 49

التمرين 3: حلل العبارة 9x² – 36

الحل: 9x² – 36 = 9(x² – 4) = 9(x – 2)(x + 2)

التمرين 4: حلل 16x² – 40x + 25

الحل: = (4x)² – 2(4x)(5) + 5² = (4x – 5)²

الخلاصة:

• المتطابقات الشهيرة هي أدوات أساسية في الجبر للنشر والتحليل.
• النشر يحول الجداء إلى مجموع؛ والتحليل يحول المجموع إلى جداء.
• المتطابقات الثلاث: (a + b)²، (a – b)²، a² – b².
• إتقان النشر والتحليل ضروري لحل المعادلات ودراسة الدوال.
• هذا الموضوع أساسي للسنة الأولى ثانوي وجميع الشعب العلمية.

📍 دروس مشابهة:

• المعادلات والمتراجحات من الدرجة الأولى والثانية
• المعادلات من الدرجة الثانية: شرح شامل مع تمارين محلولة