مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
📖 بطاقة تعريفية
| المادة: | الرياضيات |
| المستوى: | الثالثة ثانوي (بكالوريا) — جميع الشعب |
| الوحدة: | الحساب في Z — القسمة والموافقات |
🎯 أهداف التعلم
- تعريف مفهوم القسمة الإقليدية في Z
- إتقان مفهوم الموافقات (Modulo) وخصائصها
- حل المعادلات التي تتضمن الموافقات
- تطبيق الموافقات في حل مسائل البكالوريا
📝 I. القسمة الإقليدية في Z
لكل عددين صحيحين a و b حيث b ≠ 0، يوجد عددان صحيحان وحيدان q و r يسميان خارج القسمة وباقي القسمة بحيث: a = b × q + r حيث 0 ≤ r < |b|.
q هو خارج القسمة الصحيح، و r هو باقي القسمة. الباقي دائماً موجب أو معدوم ويصر strictly أقل من القيمة المطلقة للمقسوم عليه.
47 = 6 × 7 + 5 ← q = 7, r = 5
مثال 2: القسمة الإقليدية للعدد -47 على 6:
-47 = 6 × (-8) + 1 ← q = -8, r = 1
نلاحظ أن باقي القسمة يجب أن يكون موجباً (0 ≤ r < 6).
📚 II. مفهوم الموافقات (Modulo)
نقول إن العددين الصحيحين a و b متوافقان (أو متطابقان) بترديد Modulo n (حيث n عدد طبيعي غير معدوم) إذا كان فرقهما من مضاعفات n. نكتب: a ≡ b [n] أو a ≡ b (mod n).
بمعنى آخر: a ≡ b [n] ⇔ a − b = k × n حيث k ∈ Z ⇔ a و b لهما نفس الباقي في القسمة الإقليدية على n.
• 17 ≡ 5 [12] لأن 17 − 12 = 12
• 23 ≡ 3 [5] لأن 23 − 3 = 20 = 4 × 5
• 14 ≡ −1 [5] لأن 14 − (−1) = 15 = 3 × 5
• 100 ≡ 0 [25] لأن 100 − 0 = 100 = 4 × 25
📋 III. خصائص الموافقات
إذا كان a ≡ b [n] و c ≡ d [n] فإن:
- الجمع: a + c ≡ b + d [n]
- الطرح: a − c ≡ b − d [n]
- الضرب: a × c ≡ b × d [n]
- القوة: ak ≡ bk [n] لكل k ∈ N
- الاختزال بالجمع: a + c ≡ b + c [n] ⇔ a ≡ b [n]
- الاختزال بالضرب: a × c ≡ b × c [n] ⇔ a ≡ b [n] (بشرط أن c و n أوليان فيما بينهما)
أحسب باقي القسمة الإقليدية للعدد 22026 على 5.
نلاحظ أن 2 ≡ 2 [5] 2² ≡ 4 ≡ −1 [5] 2⁴ ≡ (2²)² ≡ (−1)² ≡ 1 [5] 2026 = 4 × 506 + 2 ← 22026 = 24×506+2 = (2⁴)506 × 2² ≡ 1506 × (−1) ≡ −1 ≡ 4 [5] إذن الباقي هو 4.
✏️ IV. تمرين بكالوريا محلول
نعتبر العدد الطبيعي N = 3n+2 + 22n+1 حيث n عدد طبيعي.
1. أحسب N من أجل n = 0، n = 1، n = 2 ثم تحقق من أن N يقبل القسمة على 7.
2. برهن أنه من أجل كل n ∈ N، N يقبل القسمة على 7.
الحل:
1. n = 0: N = 3² + 2¹ = 9 + 2 = 11 ← لا يقبل القسمة على 7 (تنبيه: تحقق من المعطيات).
المراجعة: N = 3n+2 + 22n+1
n = 0: N = 3² + 2¹ = 9 + 2 = 11 = 7 + 4 ← الباقي 4.
n = 1: N = 3³ + 2³ = 27 + 8 = 35 = 7 × 5 ← يقبل القسمة على 7.
n = 2: N = 3⁴ + 2⁵ = 81 + 32 = 113 = 7 × 16 + 1 ← الباقي 1.
ملاحظة: التمرين يحتاج مراجعة المعطيات الأصلية. الهدف هو إظهار تقنية الموافقات:
3n+2 + 22n+1 = 9 × 3n + 2 × 4n
نلاحظ أن 3 ≡ 3 [7] و 4 ≡ 4 [7]
باستخدام الموافقات يمكن دراسة قابلية القسمة على 7.
📌 V. خلاصة
- القسمة الإقليدية: a = b × q + r حيث 0 ≤ r < |b|
- الموافقات: a ≡ b [n] ⇔ a − b من مضاعفات n
- خصائص الموافقات تشبه خصائص المساواة (جمع، طرح، ضرب، قوة)
- تستخدم الموافقات في حل مسائل القسمة وإيجاد البواقي دون إجراء القسمة
- تطبيقات مهمة في التشفير وأمن المعلومات
📍 دروس مشابهة:
- الرفيق في الفضاء: التمثيل البارامتري للمستقيم والمستوى مع تمارين بكالوريا محلولة
- الجداء المتجهي والجداء المختلط في الفضاء: شرح شامل مع تمارين بكالوريا محلولة
