مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الرفيق في الفضاء: التمثيل البارامتري للمستقيم والمستوى
الأهداف التعليمية:
- التعرف على مفهوم التمثيل البارامتري (الوسيطي) للمستقيم في الفضاء.
- إيجاد التمثيل البارامتري لمستقيم يمر من نقطة ويوازي شعاع توجيه.
- إيجاد التمثيل البارامتري لمستوى يمر من نقطة ويوازي شعاعين غير مرتبطين خطياً.
- تحديد وضعية مستقيم ومستوى في الفضاء (تقاطع، توازٍ، انتماء).
- حل تمارين بكالوريا في الهندسة الفضائية.
1. التمثيل البارامتري للمستقيم في الفضاء
في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد متجانس (O, i, j, k)، يعين المستقيم (D) المار من النقطة A(x₀, y₀, z₀) والموجه بالشعاع v(a, b, c) بالتمثيل البارامتري التالي:
\[
\begin{cases}
x = x_0 + t \cdot a \\
y = y_0 + t \cdot b \\
z = z_0 + t \cdot c
\end{cases}
\quad t \in \mathbb{R}
\]
حيث t هو الوسيط (البارامتر) الحقيقي. كل قيمة لـ t تعطي نقطة على المستقيم.
مثال تطبيقي:
أوجد التمثيل البارامتري للمستقيم المار من A(1, -2, 3) والموجه بالشعاع v(2, 1, -1).
الحل: نطبق الصيغة مباشرة:
\[
\begin{cases}
x = 1 + 2t \\
y = -2 + t \\
z = 3 – t
\end{cases}
\quad t \in \mathbb{R}
\]
2. التمثيل البارامتري للمستوى في الفضاء
المستوى (P) المار من النقطة A(x₀, y₀, z₀) والموجه بشعاعين غير مرتبطين خطياً u(a₁, b₁, c₁) و v(a₂, b₂, c₂) يُعطى بالتمثيل البارامتري:
\[
\begin{cases}
x = x_0 + t \cdot a_1 + s \cdot a_2 \\
y = y_0 + t \cdot b_1 + s \cdot b_2 \\
z = z_0 + t \cdot c_1 + s \cdot c_2
\end{cases}
\quad (t, s) \in \mathbb{R}^2
\]
مثال تطبيقي:
أوجد التمثيل البارامتري للمستوى المار من A(1, 0, 2) والموجه بـ u(1, 1, 0) و v(0, 1, 1).
الحل:
\[
\begin{cases}
x = 1 + t \\
y = 0 + t + s \\
z = 2 + s
\end{cases}
\quad (t, s) \in \mathbb{R}^2
\]
3. الوضعيات النسبية لمستقيم ومستوى
أ. مستقيم ومستوى:
- إذا كان شعاع توجيه المستقيم عمودياً على شعاع توجيه المستوى → المستقيم يوازي المستوى أو يقع فيه.
- إذا لم يكن شعاع التوجيه عمودياً → المستقيم يقطع المستوى في نقطة واحدة.
ب. مستقيمان في الفضاء:
- إذا كان شعاعا التوجيه مرتبطين خطياً → المستقيمان متوازيان أو متطابقان.
- إذا كانا غير مرتبطين خطياً ولهما نقطة مشتركة → متقاطعان.
- إذا كانا غير مرتبطين خطياً وليس لهما نقطة مشتركة → متخالفان (غير واقعين في مستوى واحد).
4. تمرين بكالوريا محلول
في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد متجانس، نعتبر المستقيم (D) الذي تمثيله البارامتري:
\[
\begin{cases}
x = 1 + t \\
y = 2 – t \\
z = 3 + 2t
\end{cases}
\quad t \in \mathbb{R}
\]
والمستوى (P) الذي معادلته: x + y – z + 2 = 0
أ) هل النقطة A(1, 2, 3) تنتمي إلى المستقيم (D)؟
الحل: ت.ع t = 0 → (1, 2, 3) → نعم A ∈ (D).
ب) هل النقطة B(2, -1, 4) تنتمي إلى (D)؟
الحل: نعوض في المعادلات: x = 2 → 1 + t = 2 → t = 1. y = -1 → 2 – 1 = 1 ≠ -1 → لا تنتمي.
ج) أحسب إحداثيات نقطة تقاطع (D) مع (P).
الحل: نعوض التمثيل البارامتري في معادلة المستوى:
(1 + t) + (2 – t) – (3 + 2t) + 2 = 0
1 + t + 2 – t – 3 – 2t + 2 = 0 → (1 + 2 – 3 + 2) + (t – t – 2t) = 0 → 2 – 2t = 0 → t = 1
إحداثيات نقطة التقاطع: (2, 1, 5).
الخلاصة:
- التمثيل البارامتري هو أداة أساسية لدراسة المستقيمات والمستويات في الفضاء.
- يستخدم البارامتر t (للمستقيم) و t, s (للمستوى) لوصف جميع نقاط الشكل الهندسي.
- لدراسة الوضعيات النسبية، نقارن بين شعاعي التوجيه ونحسب نقط التقاطع بحل جملة المعادلات.
- هذا الموضوع أساسي في بكالوريا شعبة رياضيات والتقني رياضي.
