الرياضيات — المصفوفات: العمليات الأساسية وتطبيقاتها — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المصفوفات: العمليات الأساسية وتطبيقاتها

المصفوفة (matrix) هي ترتيب مستطيل من الأعداد على شكل أسطر وأعمدة. تستخدم المصفوفات في حل جمل المعادلات الخطية وفي التحويلات الهندسية وفي العديد من التطبيقات العلمية.

تعريف المصفوفة

مصفوفة من النظام m×n هي جدول يتكون من m سطراً و n عموداً. نكتب: A = (a_ij) حيث i يمثل رقم السطر و j يمثل رقم العمود.

مثال

A = [1 2 3; 4 5 6] هي مصفوفة من النظام 2×3.

جمع وطرح المصفوفات

نجمع (أو نطرح) مصفوفتين لهما نفس النظام بجمع (أو طرح) العناصر المتناظرة:
(A+B)_ij = a_ij + b_ij

ضرب مصفوفة بعدد

نضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في ذلك العدد:
(cA)_ij = c × a_ij

ضرب المصفوفات

ضرب مصفوفة A (n×p) في B (p×m) يعطي مصفوفة C (n×m) حيث:
c_ij = Σ(k=1 à p) a_ik × b_kj

مثال

A = [1 2; 3 4], B = [5 6; 7 8] AB = [1×5+2×7, 1×6+2×8; 3×5+4×7, 3×6+4×8] = [19 22; 43 50]

المصفوفة المحايدة والمعكوسة

المصفوفة المحايدة I (القطر الرئيسي = 1 وباقي العناصر = 0) تحقق IA = AI = A.
المصفوفة المعكوسة A⁻¹ تحقق A×A⁻¹ = A⁻¹×A = I.

تمارين

1. إذا كانت A = [1 -1; 2 3] و B = [0 2; -1 4]، احسب: A+B, A-B, 3A, AB, BA
2. احسب محدد المصفوفات التالية:
   أ) [2 3; 1 4], ب) [1 0 2; -1 3 1; 2 1 0]
3. أوجد معكوس المصفوفة A = [2 3; 1 4] إن وجد.
4. حل جملة المعادلات باستخدام المصفوفات:
   2x + 3y = 7
   x + 4y = 6

للاستزادة، راجع درس جمل المعادلات الخطية ودرس نظم المعادلات الخطية.

📍 دروس مشابهة:

• فرض اول للثلاثي الثاني للسنة الرابعة متوسط في الرياضيات + الحل النموذجي — تحديث 2026
• امتحان شهادة التعليم الابتدائي 2022 في التربية الإسلامية مع الحل — السنكيام — المنهاج الجزائري
• Français — Les verbes du 3ème groupe au présent — 3ème Année Moyenne — Programme Algérien