الرياضيات — المنطق الرياضي: أساسيات الاستدلال المنطقي — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المنطق الرياضي: أساسيات الاستدلال المنطقي

المنطق الرياضي هو أساس البراهين والاستدلالات في الرياضيات. يساعدنا على فهم صحة العبارات الرياضية وبناء البراهين المنطقية السليمة.

العبارة المنطقية

العبارة المنطقية (proposition) هي جملة خبرية تحتمل الصواب أو الخطأ ولا تحتمل كليهما معاً.
مثال: “2+2=4” عبارة صحيحة. “العدد 7 يقبل القسمة على 3” عبارة خاطئة.

الروابط المنطقية

النفي (¬): نفي العبارة P هو ¬P ويكون صحيحاً إذا كانت P خاطئة والعكس.
العطف (∧): P ∧ Q صحيحة إذا كانت P و Q صحيحتين معاً.
الفصل (∨): P ∨ Q صحيحة إذا كانت P صحيحة أو Q صحيحة أو كلاهما.
الاستلزام (⇒): P ⇒ Q خاطئة فقط عندما تكون P صحيحة و Q خاطئة.
التكافؤ (⇔): P ⇔ Q صحيحة عندما تكون P و Q لهما نفس قيمة الصواب.

جدول الصواب

جدول الصواب للاستلزام P ⇒ Q:
P صحيح, Q صحيح → P ⇒ Q صحيح
P صحيح, Q خاطئ → P ⇒ Q خاطئ
P خاطئ, Q صحيح → P ⇒ Q صحيح
P خاطئ, Q خاطئ → P ⇒ Q صحيح

طرق البرهان

الاستدلال المباشر: نبدأ من الفرضيات ونصل إلى النتيجة باستخدام قواعد الاستدلال.
البرهان بالخلف: نفترض صحة نفي المطلوب ونصل إلى تناقض.
الاستدلال بالترجع (الاستقراء الرياضي): نثبت صحة العبارة لعدد أولي ثم نثبت أنه إذا صحت لعدد n صحت لـ n+1.

تمارين

1. حدد ما إذا كانت العبارات التالية صحيحة أو خاطئة مع التعليل:
   أ) 3 > 2 و 5 < 7
   ب) 4 = 5 أو 3 > 1
   ج) إذا كان 6 عدد أولي فإن 9 عدد فردي
2. اكتب نفي العبارات التالية:
   أ) x > 3 و x < 7
   ب) لكل x ∈ ℝ, x² ≥ 0
3. أثبت أن √2 عدد غير نسبي باستخدام البرهان بالخلف.
4. باستخدام الاستقراء الرياضي، أثبت أن 1+2+3+…+n = n(n+1)/2 لكل n ∈ ℕ.

للاستزادة، راجع درس المجموعات في الرياضيات ودرس الترتيب والقيمة المطلقة.

📍 دروس مشابهة:

• الرياضيات — التكامل: القواعد الأساسية والتطبيقات — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري
• ندوة تربوية حول منهجية تدريس الرياضيات
• التاريخ والجغرافيا — التيار الوطني الجزائري: جمعية العلماء المسلمين — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري