الرياضيات: المرجح في المستوى – تعريف وخصائص – 1 ثانوي (شعب علمية) – بكالوريا – المنهاج الجزائري

المرجح في المستوى: تعريف وخصائص

المرجح (Barycentre) هو مفهوم هندسي يمثل نقطة توازن مجموعة من النقاط الموزونة بمعاملات.

اولا: تعريف المرجح

ليكن A و B نقطتين في المستوى، و α و β عددين حقيقيين حيث α + β ≠ 0. المرجح G للنقطتين A و B بالمعاملين α و β هو النقطة الوحيدة التي تحقق:
α CA + β CB = 0 (متجهة منعدمة)

او: G هي النقطة التي تحقق: α GA + β GB = 0

مثال:

مرجح A(1) و B(5) بمعاملين متساويين (α = β = 1) هو النقطة G منتصف [AB]: G(3).

ثانيا: احداثيات المرجح

اذا كان A(xA, yA) و B(xB, yB) في معلم متعامد، فان احداثيات المرجح G(xG, yG) هي:
xG = (α xA + β xB) / (α + β)
yG = (α yA + β yB) / (α + β)

مثال محلول:

احسب مرجح A(1, 2) و B(5, 4) بالمعاملين α = 3 و β = 1.

الحل:
xG = (3 x 1 + 1 x 5) / (3 + 1) = (3 + 5) / 4 = 8/4 = 2
yG = (3 x 2 + 1 x 4) / 4 = (6 + 4) / 4 = 10/4 = 2.5
اذن G(2, 2.5)

ثالثا: خاصيات المرجح

1. التجميع (Associativite): يمكن تجميع النقاط الجزئية لحساب المرجح الكلي.

2. الانسحاب (Homogeneite): اذا ضربنا جميع المعاملات في نفس العدد غير المعدوم، لا يتغير المرجح.

3. المرجح والتحويلات: صورة المرجح بالانسحاب (او التحاكي) هي مرجح الصور بنفس المعاملات.

تمارين تطبيقية

التمرين 1:

احسب مرجح النقطتين A(2, 3) و B(6, 1) بالمعاملين α = 1 و β = 3.

التمرين 2:

ليكن G مرجح (A, 2) و (B, 3). اكتب GA و GB بدلالة AB.

التمرين 3:

A و B نقطتان في المستوى. عين G بحيث: 2 GA + 5 GB = 0.

التمرين 4:

برهن ان G مرجح A و B بالمعاملين α و β يقع على المستقيم (AB).

للاستزادة، راجع درس الحساب الشعاعي: جمع وطرح المتجهات وكذلك درس الهندسة التحليلية: المعادلات الوسيطية في المستوى.

📍 دروس مشابهة

• محفظة استاذ الرياضيات للتعليم المتوسط — تحديث 2026
• الرياضيات — فيثاغورس — السنة الثالثة متوسط
• الرياضيات — المعادلات من الدرجة الثانية — الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري