الرياضيات: المتراجحات من الدرجة الثانية – دراسة الإشارة – 1 ثانوي (شعب علمية) – بكالوريا – المنهاج الجزائري

المتراجحات من الدرجة الثانية: دراسة الإشارة

المتراجحة من الدرجة الثانية هي متباينة من الشكل ax² + bx + c ≤ 0 او ax² + bx + c ≥ 0. لحلها ندرس اشارة ثلاثي الحدود.

اولا: دراسة اشارة ثلاثي الحدود ax² + bx + c

نحسب المميز Δ = b² – 4ac:

الحالة 1: Δ > 0
للمعادلة جذران x₁ و x₂ (نفرض x₁ < x₂)
– اشارة المقدار مثل a خارج المجال ]x₁, x₂[
– اشارة عكس a داخل المجال ]x₁, x₂[

الحالة 2: Δ = 0
للمعادلة جذر مضاعف x₀
– اشارة المقدار مثل a لكل x ≠ x₀
– المقدار منعدم عند x = x₀

الحالة 3: Δ < 0
المقدار له نفس اشارة a لكل x ∈ ℝ

مثال محلول:

ادرس اشارة x² – 3x + 2 ثم حل المتراجحة x² – 3x + 2 ≤ 0

Δ = 9 – 8 = 1 > 0, x₁ = 1, x₂ = 2
a = 1 > 0
المقدار موجب على ]-∞, 1[ ∪ ]2, +∞[
المقدار سالب على ]1, 2[
اذن حلول x² – 3x + 2 ≤ 0 هي: S = [1, 2]

ثانيا: حل متراجحة من الدرجة الثانية

خطوات الحل:
1. ننقل جميع الحدود الى طرف واحد (نحصل على الصيغة 0…)

2. نحسب المميز Δ

3. نوجد الجذور (ان وجدت)

4. ندرس اشارة ثلاثي الحدود

5. نحدد مجموعة الحلول حسب اشارة المتراجحة

مثال محلول:

حل المتراجحة -x² + 4x – 3 ≥ 0
Δ = 16 – 12 = 4 > 0, x₁ = 1, x₂ = 3
a = -1 < 0
اشارة a خارج ]1, 3[ (سالب)، عكس a داخل ]1, 3[ (موجب)
المتراجحة تطلب ≥ 0، اذن الحلول هي حيث الاشارة موجبة او منعدمة
S = [1, 3]

تمارين تطبيقية

التمرين 1:

ادرس اشارة: (أ) x² – 5x + 6, (ب) -x² + 2x + 3

التمرين 2:

حل المتراجحات: (أ) x² – 4 ≥ 0, (ب) x² – 2x – 8 < 0

التمرين 3:

حل المتراجحة: 2x² – 3x + 1 > 0

التمرين 4:

حدد اشارة المقدار: (x – 1)(x + 2)(3 – x)

للاستزادة، راجع درس المعادلات من الدرجة الثانية: شرح وتمارين وكذلك درس حل المتراجحات من الدرجة الثانية.