الرياضيات: جمل المعادلات الخطية – طرق الحل – 1 ثانوي (شعب علمية) – بكالوريا – المنهاج الجزائري

جمل المعادلات الخطية: طرق الحل

جملة معادلتين من الدرجة الاولى بمجهولين x و y تكتب على الشكل:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

اولا: طريقة التعويض

الخطوات:
1. نعبر عن احد المجهولين بدلالة الاخر من احدى المعادلتين
2. نعوض هذا التعبير في المعادلة الثانية
3. نحصل على معادلة بمجهول واحد نحلها
4. نعوض القيمة التي وجدناها لحساب المجهول الثاني

مثال محلول:

حل الجملة: x + y = 7 و 2x – y = 2

من المعادلة (1): y = 7 – x
نعوض في (2): 2x – (7 – x) = 2
2x – 7 + x = 2 → 3x = 9 → x = 3
ثم y = 7 – 3 = 4
S = {(3, 4)}

ثانيا: طريقة الجمع (الحذف)

الخطوات:
1. نضرب كل معادلة في عدد مناسب ليكون معاملا احد المجهولين متساويين او متقابلين
2. نجمع المعادلتين (او نطرحهما) لحذف هذا المجهول
3. نحل المعادلة الناتجة
4. نعوض القيمة لايجاد المجهول الثاني

مثال محلول:

حل الجملة: 3x + 2y = 12 و x – 2y = 4

نجمع المعادلتين: (3x + 2y) + (x – 2y) = 12 + 4
4x = 16 → x = 4
نعوض في (2): 4 – 2y = 4 → -2y = 0 → y = 0
S = {(4, 0)}

ثالثا: طريقة المحددات (قاعدة كرامر)

المحدد الرئيسي D = a₁b₂ – a₂b₁
Dx = c₁b₂ – c₂b₁
Dy = a₁c₂ – a₂c₁
اذا كان D ≠ 0: x = Dx/D و y = Dy/D

مثال محلول:

حل بالطريقة التي تريدها: 2x + 3y = 8 و 4x – y = 2

بالتعويض: من (2): y = 4x – 2
نعوض في (1): 2x + 3(4x – 2) = 8 → 2x + 12x – 6 = 8 → 14x = 14 → x = 1
y = 4(1) – 2 = 2
S = {(1, 2)}

تمارين تطبيقية

التمرين 1:

حل الجملة بطريقة التعويض: x + y = 5 و x – y = 1

التمرين 2:

حل الجملة بطريقة الجمع: 2x + 3y = 7 و 3x – 2y = 4

التمرين 3:

حل الجملة: 3x – y = 5 و x + 2y = 11

التمرين 4:

عمر اب يساوي ثلاثة اضعاف عمر ابنه. وبعد 10 سنوات يصبح عمر الاب ضعف عمر الابن. احسب عمر كل منهما.

للاستزادة، راجع درس جمل معادلات بطريقتين: الجمع والتعويض وكذلك درس حل المتراجحات من الدرجة الثانية.