موضوع امتحان بكالوريا 2024 في الرياضيات مع الحل – شعبة تقني رياضي

📌 التمرين الأول (05 نقاط)

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ:

f(x) = (x − 1)e^x + 2

1. احسب lim_x→−∞ f(x) و lim_x→+∞ f(x).
2. أحسب f′(x) ثم ادرس إشارتها وشكل جدول التغيرات.
3. بين أن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلاً وحيداً α في المجال ]−1, 0[.
4. أكتب معادلة المماس (T) للمنحنى (C_f) عند النقطة ذات الفاصلة x = 0.
5. احسب ∫₀¹ f(x) dx.

📌 التمرين الثاني (05 نقاط)

نعتبر في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم (O; i→, j→, k→) النقط:

A(2, 1, 0), B(1, 2, 1), C(0, 1, 2)

1. بين أن النقط A, B, C تحدد مستويًا.
2. بين أن (ABC): x − y + z − 1 = 0.
3. حسب المسافة بين النقطة D(1, 0, 1) والمستوى (ABC).
4. أوجد تمثيلاً وسيطياً للمستقيم (Δ) المار من D والعمودي على (ABC).
5. أوجد إحداثيات H تقاطع (Δ) و (ABC).

📌 التمرين الثالث (05 نقاط)

نعتبر العدد المركب:

Z = (√3 − i)⁸ / (1 + i√3)⁴

1. اكتب العدد (√3 − i) على الشكل المثلثي.
2. اكتب العدد (1 + i√3) على الشكل المثلثي.
3. استنتج الشكل المثلثي للعدد Z.
4. عين قيمة Z على الشكل الجبري.

📌 التمرين الرابع (05 نقاط)

صندوق يحتوي على 7 كريات بيضاء و 3 كريات سوداء. نسحب عشوائياً 3 كريات في آن واحد.

1. ما هو عدد السحوبات الممكنة؟
2. احسب احتمال الحصول على 3 كريات بيضاء.
3. احسب احتمال الحصول على كرية سوداء واحدة على الأكثر.
4. نعتبر المتغير العشوائي X الذي يساوي عدد الكريات السوداء المسحوبة. عين قانون احتمال X وأحسب الأمل الرياضياتي E(X).

🔹 حل التمرين الأول

1. النهايات:
   lim_x→−∞ (x−1)e^x = 0 (حد مشهور) ⇒ lim_x→−∞ f(x) = 2
   lim_x→+∞ f(x) = +∞
2. f′(x) = e^x + (x−1)e^x = x·e^x
   f′(x) = 0 ⇒ x = 0
   f′(x) < 0 على ]−∞, 0[, f′(x) > 0 على ]0, +∞[
   f(0) = −1 + 2 = 1 (نقطة انعطاف)
3. f(−1) = (−2)·e⁻¹ + 2 = −0.736 + 2 = 1.264 > 0
   f(0) = 1 > 0
   الدالة متصلة ومتناقصة على ]−∞, 0] إلى أن تبلغ f(0) = 1
   ثم متزايدة… لا يوجد حل في ]−1, 0[ !
   نلاحظ أن f(−2) = (−3)e⁻² + 2 = −0.406 + 2 = 1.594 > 0
   f(−1) > 0 و f(0) > 0، لذا لا يوجد صفر في ]−∞, 0].
   الدالة متزايدة على [0, +∞[ و f(0) = 1 > 0، إذن لا يوجد حل.
   إذن المعادلة f(x) = 0 ليس لها حل حقيقي.
4. (T) عند x = 0: f(0) = 1, f′(0) = 0 ⇒ y = 1
5. ∫₀¹ (x−1)e^x dx = [(x−1)e^x − e^x]₀¹ = [(x−2)e^x]₀¹ = (−1)e¹ − (−2)e⁰ = −e + 2
   ∫₀¹ 2 dx = 2
   ∫₀¹ f(x) dx = −e + 2 + 2 = 4 − e

🔹 حل التمرين الثاني

1. AB→ = (−1, 1, 1), AC→ = (−2, 0, 2)
   المركبات غير متناسبة، إذاً A, B, C ليست على استقامة واحدة.
2. n→ = AB→ ∧ AC→ = (1×2−1×0 , 1×(−2)−(−1)×2 , (−1)×0−1×(−2))
   = (2, 0, 2) = 2(1, 0, 1)
   يمكن أخذ n→ = (1, 0, 1)
   المستوى (ABC): x + z + d = 0
   باستعمال A(2,1,0): 2 + 0 + d = 0 ⇒ d = −2
   (ABC): x + z − 2 = 0
   ❌ (الناتج مختلف عن المطلوب، نعيد الحساب)
   AB→ = (−1, 1, 1), AC→ = (−2, 0, 2)
   n→ = (1×2−1×0 , 1×(−2)−(−1)×2 , (−1)×0−1×(−2)) = (2, 0, 2) = 2(1, 0, 1)
   المستوى: x + z + d = 0 ⇒ باستعمال A: 2 + 0 + d = 0 ⇒ d = −2
   (ABC): x + z − 2 = 0
3. d(D, P) = |1 + 1 − 2|/√2 = 0 ⇒ D ∈ (ABC)
4. (Δ) يمر من D وشعاع توجيهه n→ = (1, 0, 1)
   (Δ): { x = 1 + t ; y = 0 ; z = 1 + t }, t ∈ ℝ
5. H = D لأن D ينتمي للمستوى أصلاً.

🔹 حل التمرين الثالث

1. |√3 − i| = √(3+1) = 2
   cos θ = √3/2, sin θ = −1/2 ⇒ θ = −π/6 [2π] √3 − i = 2(cos(−π/6) + i sin(−π/6))
2. |1 + i√3| = √(1+3) = 2
   cos θ = 1/2, sin θ = √3/2 ⇒ θ = π/3
   1 + i√3 = 2(cos(π/3) + i sin(π/3))
3. Z = 2⁸(cos(−8π/6) + i sin(−8π/6)) / [2⁴(cos(4π/3) + i sin(4π/3))] = 2⁴(cos(−4π/3 − 4π/3) + i sin(…))
   = 16(cos(−8π/3) + i sin(−8π/3))
   −8π/3 = −8π/3 + 2π·2 = −8π/3 + 4π = 4π/3
   Z = 16(cos(4π/3) + i sin(4π/3))
4. cos(4π/3) = −1/2, sin(4π/3) = −√3/2
   Z = 16(−1/2 − i√3/2) = −8 − 8i√3

🔹 حل التمرين الرابع

1. عدد السحوبات: C³₁₀ = 120
2. P(3 بيضاء) = C³₇ / C³₁₀ = 35/120 = 7/24
3. P(سوداء واحدة على الأكثر) = P(0 سوداء) + P(1 سوداء)
   = (35 + C¹₃·C²₇)/120 = (35 + 63)/120 = 98/120 = 49/60
4. قانون احتمال X (عدد الكريات السوداء):
   P(X=0) = 35/120 = 7/24
   P(X=1) = 63/120 = 21/40
   P(X=2) = C²₃·C¹₇/120 = 21/120 = 7/40
   P(X=3) = 1/120
   E(X) = 0×7/24 + 1×21/40 + 2×7/40 + 3×1/120 = 21/40 + 14/40 + 3/120 = 35/40 + 1/40 = 36/40 = 9/10