موضوع امتحان بكالوريا 2025 في الرياضيات مع الحل – شعبة تقني رياضي

📌 التمرين الأول (05 نقاط)

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ:

f(x) = x³ − 3x² + 2

1. احسب نهايات الدالة f عند ±∞.
2. أحسب f′(x) ثم ادرس إشارتها وشكل جدول تغيرات f.
3. بين أن المعادلة f(x) = 0 تقبل ثلاثة حلول حقيقية.
4. أكتب معادلة المماس (T) عند النقطة ذات الفاصلة x = 0.
5. أنشئ منحنى الدالة f.

📌 التمرين الثاني (05 نقاط)

نعتبر الأعداد المركبة:

Z = (1 − i√3)²⁰²⁵ / (1 + i)²⁰²⁵

1. اكتب العدد (1 − i√3) على الشكل المثلثي.
2. اكتب العدد (1 + i) على الشكل المثلثي.
3. استنتج الشكل المثلثي للعدد Z.
4. أوجد العدد الطبيعي n بحيث يكون Zⁿ عدداً حقيقياً موجباً.

📌 التمرين الثالث (05 نقاط)

في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم (O; i→, j→, k→)، نعتبر النقط:

A(1, 0, 2), B(−1, 2, 1), C(0, 1, −1)

1. بين أن النقط A, B, C ليست على استقامة واحدة.
2. بين أن المستوى (ABC) معادلته: 2x + y + z − 4 = 0.
3. احسب المسافة بين النقطة D(2, 1, 0) والمستوى (ABC).
4. أوجد إحداثيات H المسقط العمودي للنقطة D على (ABC).

📌 التمرين الرابع (05 نقاط)

صندوق يحتوي على 5 كريات حمراء و 3 كريات خضراء و 2 كريتين زرقاوين. نسحب عشوائياً 3 كريات في آن واحد.

1. ما هو عدد السحوبات الممكنة؟
2. احسب احتمال الحصول على 3 كريات حمراء.
3. احسب احتمال الحصول على كريتين حمراوين على الأقل.
4. نعتبر المتغير العشوائي X الذي يساوي عدد الكريات الخضراء المسحوبة. عين قانون احتمال X وأحسب الأمل الرياضياتي E(X).

🔹 حل التمرين الأول

1. النهايات:
   • lim_x→−∞ f(x) = lim x³ = −∞
   • lim_x→+∞ f(x) = lim x³ = +∞
2. المشتقة وجدول التغيرات:
   f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)
   إشارة f′(x): موجبة على ]−∞, 0[ ∪ ]2, +∞[، سالبة على ]0, 2[
   f(0) = 2, f(2) = 8 − 12 + 2 = −2
3. جذور المعادلة f(x) = 0:
   • f(−1) = −1 − 3 + 2 = −2 → f(−1) × f(0) = −2 × 2 = −4 < 0 ⇒ يوجد حل α₁ ∈ ]−1, 0[
   • f(0) × f(2) = 2 × (−2) = −4 < 0 ⇒ يوجد حل α₂ ∈ ]0, 2[
   • f(2) × f(3) = −2 × 2 = −4 < 0 ⇒ يوجد حل α₃ ∈ ]2, 3[
4. المماس عند x = 0:
   f(0) = 2, f′(0) = 0
   (T): y = 2 (مماس أفقي)

🔹 حل التمرين الثاني

1. الشكل المثلثي لـ (1 − i√3):
   |1 − i√3| = √(1 + 3) = 2
   cos θ = 1/2, sin θ = −√3/2 ⇒ θ = −π/3 [2π] 1 − i√3 = 2(cos(−π/3) + i sin(−π/3))
2. الشكل المثلثي لـ (1 + i):
   |1 + i| = √2, cos θ = 1/√2, sin θ = 1/√2 ⇒ θ = π/4
   1 + i = √2(cos(π/4) + i sin(π/4))
3. الشكل المثلثي لـ Z:
   Z = 2²⁰²⁵(cos(−2025π/3) + i sin(−2025π/3)) / (√2)²⁰²⁵(cos(2025π/4) + i sin(2025π/4))
   = 2²⁰²⁵/2¹⁰¹²·⁵ (cos(−675π − 2025π/4) + i sin(…))
   بالتبسيط نحصل على Z = 2¹⁰¹²·⁵(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 2¹⁰¹²·⁵ i

🔹 حل التمرين الثالث

1. AB→ = (−2, 2, −1), AC→ = (−1, 1, −3)
   المركبات غير متناسبة، إذن A, B, C ليست على استقامة واحدة.
2. n→ = AB→ ∧ AC→ = (2, 1, 1)
   المستوى (ABC): 2x + y + z + d = 0
   باستعمال A: 2(1) + 0 + 2 + d = 0 ⇒ d = −4
   (ABC): 2x + y + z − 4 = 0
3. d(D, P) = |2(2) + 1(1) + 0 − 4| / √(4 + 1 + 1) = 1/√6
4. H(x, y, z) بحيث H ∈ (ABC) و (DH) // n→
   H(2 + 2t, 1 + t, 0 + t)
   2(2+2t) + (1+t) + t − 4 = 0 ⇒ 4 + 4t + 1 + t + t − 4 = 0 ⇒ 6t = −1 ⇒ t = −1/6
   H(2 − 1/3, 1 − 1/6, −1/6) = (5/3, 5/6, −1/6)

🔹 حل التمرين الرابع

1. عدد السحوبات: C³₁₀ = 120
2. P(3 حمراء) = C³₅ / C³₁₀ = 10/120 = 1/12
3. P(حمراوين على الأقل) = (C²₅·C¹₅ + C³₅) / C³₁₀ = (10·5 + 10)/120 = 60/120 = 1/2
4. قانون احتمال X (عدد الكريات الخضراء):
   P(X = 0) = C³₇ / C³₁₀ = 35/120 = 7/24
   P(X = 1) = (C¹₃·C²₇) / C³₁₀ = 63/120 = 21/40
   P(X = 2) = (C²₃·C¹₇) / C³₁₀ = 21/120 = 7/40
   P(X = 3) = C³₃ / C³₁₀ = 1/120
   E(X) = 0×7/24 + 1×21/40 + 2×7/40 + 3×1/120 = 21/40 + 14/40 + 3/120 = 35/40 + 1/40 = 36/40 = 9/10