موضوع امتحان بكالوريا 2023 في الرياضيات مع الحل – شعبة تقني رياضي

التمرين الأول (05 نقاط)

نعتبر الدالة f المعرفة على R ب:

f(x) = ln(1 + x^2) – x + 1

1. حدد مجموعة تعريف الدالة f.
2. احسب النهايات عند اطراف مجموعة التعريف.
3. أحسب f′(x) ثم ادرس إشارتها وشكل جدول التغيرات.
4. بين أن المنحنى يقبل نقطة انعطاف عند x = 1.
5. اكتب معادلة المماس عند x = 0.

التمرين الثاني (05 نقاط)

نعتبر العدد المركب:

Z = (1 + i)^n + (1 – i)^n

1. اكتب (1 + i) و (1 – i) على الشكل المثلثي.
2. استنتج عبارة Z بدلالة n على الشكل المثلثي.
3. أوجد قيم n الطبيعية حيث Z = 0.
4. أوجد قيم n الطبيعية حيث Z عدد حقيقي موجب.

التمرين الثالث (05 نقاط)

في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم، نعتبر المستقيمين:

(D1): {x = 1 + t, y = 2 – t, z = 3 + 2t}, t في R
(D2): {x = -1 + 2s, y = 1 + s, z = 0 – s}, s في R

1. بين ان D1 و D2 متقاطعان (ليسا متوازيين وليسا متقاطعين)؟
2. ادرس الوضع النسبي لـ D1 و D2.
3. أوجد معادلة المستوي (P) الذي يشمل D1 ويوازي D2.
4. احسب المسافة بين D1 و D2.

التمرين الرابع (05 نقاط)

يرمي لاعب سهمين نحو هدف. احتمال إصابة الهدف في الرمية الواحدة هو 0.7.

1. احسب احتمال إصابة الهدف مرتين.
2. احسب احتمال إصابة الهدف مرة واحدة على الأقل.
3. إذا كان اللاعب يرمي 10 سهام، ما احتمال إصابة الهدف 8 مرات بالضبط؟
4. ما هو عدد الرميات اللازم ليكون احتمال إصابة الهدف مرة واحدة على الأقل أكبر من 0.999؟

حل التمرين الأول

1. مجموعة التعريف: من أجل كل x في R: 1 + x^2 > 0 اذا Df = R
2. النهايات:
   lim(x→-∞) f(x) = lim(ln(x^2) – x) = +∞ + ∞ = +∞
   lim(x→+∞) f(x) = lim(ln(x^2) – x) = -∞ (لان x يغلب ln x)
3. المشتقة:
   f′(x) = 2x/(1+x^2) – 1 = (2x – 1 – x^2)/(1+x^2) = -(x^2 – 2x + 1)/(1+x^2) = -(x-1)^2/(1+x^2)
4. إشارة f′(x):
   f′(x) < 0 لكل x ≠ 1, f′(1) = 0
   اذن f متناقصة تماما على R
5. نقطة الانعطاف:
   f″(x) = مشتقة f′(x):
   f′(x) = 2x/(1+x^2) – 1
   f″(x) = [2(1+x^2) – 2x(2x)]/(1+x^2)^2 = (2+2x^2-4x^2)/(1+x^2)^2 = (2-2x^2)/(1+x^2)^2 = 2(1-x^2)/(1+x^2)^2
   f″(1) = 0 والإشارة تتغير عند x=1، اذا نقطة انعطاف.
6. المماس عند x=0:
   f(0) = ln(1) + 1 = 1
   f′(0) = -1
   (T): y = -1(x-0) + 1 = -x + 1

حل التمرين الثاني

1. |1+i| = جذر(2) اذن 1+i = جذر2(cos(pi/4)+i sin(pi/4))
   |1-i| = جذر(2) اذن 1-i = جذر2(cos(-pi/4)+i sin(-pi/4))
2. Z = (جذر2)^n [cos(n.pi/4)+i sin(n.pi/4) + cos(-n.pi/4)+i sin(-n.pi/4)] = 2^(n/2) [2cos(n.pi/4)] = 2^(n/2+1) . cos(n.pi/4)
3. Z = 0 اذا cos(n.pi/4) = 0
   اي n.pi/4 = pi/2 + k.pi اذن n = 2 + 4k, k في Z
   اي n = 2, 6, 10, 14, …
4. Z عدد حقيقي موجب اذا cos(n.pi/4) > 0
   n.pi/4 في ]-pi/2+2k.pi, pi/2+2k.pi[
   n في ]-2+8k, 2+8k[
   اذن n = 0, 1, 7, 8, 9, 15, …

حل التمرين الثالث

1. شعاع توجيه D1: v1(1, -1, 2)
   شعاع توجيه D2: v2(2, 1, -1)
   v1 و v2 غير مرتبطين خطيا (ليسا متوازيين).
   هل D1 و D2 متقاطعان؟
   1+t = -1+2s
   2-t = 1+s
   3+2t = 0-s
   من الثانية: 2-t = 1+s اذن s = 1-t
   من الأولى: 1+t = -1+2(1-t) = -1+2-2t = 1-2t
   اذن 1+t = 1-2t اي 3t = 0 اذن t = 0
   ومنه s = 1
   نتحقق من الثالثة: 3+0 = ? = 0-1 = -1
   3 ≠ -1 اذن لا يوجد حل للنظام => D1 و D2 غير متقاطعين.
2. D1 و D2 مستقيمان غير متوازيين وغير متقاطعين، اذن هما مستقيمان متخالفان.
3. المستوي P يشمل D1 ويوازي D2. نأخذ نقطة من D1: A(1,2,3)
   شعاعا توجيه للمستوي: v1(1,-1,2) و v2(2,1,-1)
   ناظم المستوي: n = v1 ∧ v2 = ((-1)(-1)-2(1), 2(2)-1(-1), 1(1)-(-1)(2)) = (1-2, 4+1, 1+2) = (-1, 5, 3)
   المستوي P: -1(x-1) + 5(y-2) + 3(z-3) = 0
   P: -x+1 + 5y-10 + 3z-9 = 0
   P: -x + 5y + 3z – 18 = 0
4. المسافة بين D1 و D2 = المسافة من أي نقطة من D2 إلى P.
   نأخذ B(-1,1,0) من D2.
   d = |-(-1)+5(1)+3(0)-18|/جذر(1+25+9) = |1+5-18|/جذر(35) = 12/جذر(35)

حل التمرين الرابع

1. X ~ B(2, 0.7)
   P(X=2) = C(2,2) * 0.7^2 * 0.3^0 = 0.49
2. P(X >= 1) = 1 – P(X=0) = 1 – 0.3^2 = 1 – 0.09 = 0.91
3. X ~ B(10, 0.7)
   P(X=8) = C(10,8) * 0.7^8 * 0.3^2 = 45 * 0.0576 * 0.09 = 0.233
4. P(X >= 1) = 1 – (0.3)^n > 0.999
   (0.3)^n < 0.001
   n.ln(0.3) < ln(0.001)
   n > ln(0.001)/ln(0.3) = -6.9078/-1.204 = 5.74
   اذن n >= 6