مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
\n
? امتحان شهادة البكالوريا 2009 — الرياضيات — شعبة علوم تجريبية
\n
المدة: 3 ساعات — المعامل: 5 — الشعبة: علوم تجريبية
\n\n
\n
? التمرين الأول (05 نقاط)
\n
نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ:
\n
f(x) = (x − 1)² ex
\n
- \n
- احسب limx→−∞ f(x) و limx→+∞ f(x).
- ادرس اتجاه تغير الدالة f ثم شكل جدول تغيراتها.
- بين أن المنحنى (Cf) يقبل نقطة انعطاف.
- أكتب معادلة المماس (T) للمنحنى عند النقطة ذات الفاصلة x = 1.
- احسب ∫01 f(x) dx.
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? التمرين الثاني (05 نقاط)
\n
نعتبر المتتالية العددية (un) المعرفة بـ:
\n
u0 = 1/2 و un+1 = un(2 − un)
\n
- \n
- بين أن 0 < un < 1 لكل n ∈ ℕ.
- ادرس رتابة المتتالية (un).
- بين أن المتتالية (un) متقاربة ثم أوجد نهايتها.
- احسب u1 و u2.
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? التمرين الثالث (05 نقاط)
\n
نعتبر الدالة g المعرفة على [0, +∞[ بـ:
\n
g(x) = ln(x + 1) − x
\n
- \n
- ادرس تغيرات الدالة g.
- استنتج إشارة g(x) على [0, +∞[.
- بين أن ln(1 + x) ≤ x لكل x ≥ 0.
- استنتج أنه لكل n ≥ 1: 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n ≥ ln(n + 1).
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? التمرين الرابع (05 نقاط)
\n
في المستوى المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم، نعتبر النقط A(−1, 2), B(3, 0), C(1, 4).
\n
- \n
- أوجد معادلة الدائرة (Γ) التي تمر من A, B, C.
- أوجد مركز وقطر الدائرة (Γ).
- بين أن المستقيم (d): 2x − y + 4 = 0 يمس الدائرة (Γ).
- أوجد نقطة التماس.
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n\n
\n
✅ الحل النموذجي
\n\n
\n
? حل التمرين الأول
\n
- \n
- النهايات:
\nlimx→−∞ (x − 1)² = +∞، limx→−∞ ex = 0 → (حالة عدم تعيين)
\nباستخدام النمو المقارن: limx→−∞ f(x) = 0
\nlimx→+∞ f(x) = +∞ - اتجاه التغير:
\nf′(x) = 2(x − 1)ex + (x − 1)² ex = ex(x − 1)(2 + x − 1) = ex(x − 1)(x + 1)
\nإشارة f′(x): موجبة على ]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞[، سالبة على ]−1, 1[
\nf(−1) = 4e−1 = 4/e، f(1) = 0 - نقطة الانعطاف:
\nf″(x) = ex[(x − 1)(x + 1) + 2x] = ex(x² + 2x − 1)
\nf″(x) = 0 ⇔ x² + 2x − 1 = 0 ⇒ x = −1 ± √2
\nالنقط (−1+√2, f(−1+√2)) و (−1−√2, f(−1−√2)) نقطتا انعطاف. - المماس عند x = 1:
\nf(1) = 0، f′(1) = 0
\n(T): y = 0 - التكامل:
\n∫01 (x − 1)² ex dx — بالتكامل بالتجزئة مرتين
\n= [ex(x − 1)²]01 − ∫01 2(x − 1)ex dx
\n= (0 − 1) − [2ex(x − 1)]01 + ∫01 2ex dx
\n= −1 − (−2e0(−1)) + 2[ex]01
\n= −1 − 2 + 2(e − 1) = −3 + 2e − 2 = 2e − 5
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? حل التمرين الثاني
\n
- \n
- الحصر بالترجع:
\n• n = 0: 0 < 1/2 < 1 ✔
\n• نفرض 0 < un < 1
\nun+1 = un(2 − un) = −(un − 1)² + 1
\n0 < un < 1 ⇒ 0 < (un − 1)² < 1 ⇒ 0 < un+1 < 1 ✔ - الرتابة:
\nun+1 − un = un(2 − un) − un = un − un² = un(1 − un) > 0
\nالمتتالية متزايدة. - التقارب:
\nمتزايدة ومحدودة من الأعلى بـ 1 ⇒ متقاربة نحو ℓ.
\nℓ = ℓ(2 − ℓ) ⇒ ℓ = 2ℓ − ℓ² ⇒ ℓ² − ℓ = 0 ⇒ ℓ(ℓ − 1) = 0
\nℓ = 0 أو ℓ = 1. وبما أن u₀ = 1/2 والمتتالية متزايدة، ℓ = 1. - حساب الحدود:
\nu₁ = 1/2 × (2 − 1/2) = 1/2 × 3/2 = 3/4
\nu₂ = 3/4 × (2 − 3/4) = 3/4 × 5/4 = 15/16
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? حل التمرين الثالث
\n
- \n
- تغيرات g:
\ng′(x) = 1/(x + 1) − 1 = (1 − (x + 1))/(x + 1) = −x/(x + 1) ≤ 0 على [0, +∞[
\ng متناقصة تماماً على [0, +∞[.
\ng(0) = ln(1) − 0 = 0
\nlimx→+∞ g(x) = −∞ - إشارة g:
\ng متناقصة و g(0) = 0 ⇒ g(x) ≤ 0 لكل x ≥ 0.
\nأي ln(x + 1) ≤ x لكل x ≥ 0. - سبق البرهان في (2).
- المتباينة:
\nلكل k ≥ 1: ln(1 + 1/k) ≤ 1/k
\nأي ln((k+1)/k) ≤ 1/k
\nبجمع المتباينات من k = 1 إلى n:
\n∑ ln((k+1)/k) ≤ ∑ 1/k
\nln(2/1) + ln(3/2) + … + ln((n+1)/n) ≤ ∑ 1/k
\nln(n + 1) ≤ ∑k=1n 1/k
\nأي 1 + 1/2 + … + 1/n ≥ ln(n + 1)
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? حل التمرين الرابع
\n
- \n
- معادلة الدائرة:
\nنفرض الدائرة: x² + y² + ax + by + c = 0
\nA(−1, 2): 1 + 4 − a + 2b + c = 0 ⇒ −a + 2b + c = −5 …(1)
\nB(3, 0): 9 + 0 + 3a + 0 + c = 0 ⇒ 3a + c = −9 …(2)
\nC(1, 4): 1 + 16 + a + 4b + c = 0 ⇒ a + 4b + c = −17 …(3)
\nمن (2): c = −9 − 3a
\nفي (1): −a + 2b − 9 − 3a = −5 ⇒ −4a + 2b = 4 ⇒ −2a + b = 2 ⇒ b = 2 + 2a
\nفي (3): a + 4(2 + 2a) − 9 − 3a = −17 ⇒ a + 8 + 8a − 9 − 3a = −17 ⇒ 6a − 1 = −17 ⇒ 6a = −16 ⇒ a = −8/3
\nb = 2 + 2(−8/3) = 2 − 16/3 = −10/3
\nc = −9 − 3(−8/3) = −9 + 8 = −1
\nx² + y² − (8/3)x − (10/3)y − 1 = 0
\nأي 3x² + 3y² − 8x − 10y − 3 = 0 - المركز والقطر:
\nΩ(4/3, 5/3)، R = √((4/3)² + (5/3)² + 1) = √(16/9 + 25/9 + 1) = √(50/9) = (5√2)/3 - التماس:
\nd(Ω, (d)) = |2(4/3) − (5/3) + 4| / √(4 + 1) = |8/3 − 5/3 + 4| / √5 = |1 + 4| / √5 = 5/√5 = √5
\nR = (5√2)/3 ≈ 2.36، √5 ≈ 2.24، غير متساوٍ…
\nلنحسب بدقة: d(Ω, (d)) = |8/3 − 5/3 + 12/3| / √5 = |15/3|/√5 = 5/√5 = √5
\nR² = 50/9، d² = 5 = 45/9، لا يتساوى، لذا المستقيم لا يمس الدائرة.
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n
? بكالوريا 2009 — الرياضيات — شعبة علوم تجريبية — الحل النموذجي.
\n
\n
🔗 مواضيع بكالوريا مقترحة
- موضوع امتحان بكالوريا 2024 في الرياضيات مع الحل — شعبة علوم تجريبية
- موضوع امتحان بكالوريا 2023 في الرياضيات مع الحل – شعبة علوم تجريبية
- موضوع امتحان بكالوريا 2025 في الرياضيات مع الحل – شعبة علوم تجريبية
