أخبار الموقع

موضوع امتحان بكالوريا 2011 في الرياضيات مع الحل – شعبة علوم تجريبية

الثالثة ثانوي, امتحانات البكالوريا, جديد المدونة ضع تعليق

\n

? امتحان شهادة البكالوريا 2011 — الرياضيات — شعبة علوم تجريبية

\n

المدة: 3 ساعات — المعامل: 5 — الشعبة: علوم تجريبية

\n\n

\n

? التمرين الأول (05 نقاط)

\n

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ:

\n

f(x) = 2x + 1 − ln(x² + 1)

\n

    \n

  1. احسب limx→−∞ f(x) و limx→+∞ f(x).

    2. \n

  2. ادرس اتجاه تغير الدالة f.

    3. \n

  3. بين أن المنحنى (Cf) يقبل مستقيمين مقاربين مائلين.

    4. \n

  4. أوجد معادلة المماس (T) عند x = 0.

    5. \n

  5. احسب ∫01 f(x) dx.

    6. \n

\n

\n\n

\n

? التمرين الثاني (05 نقاط)

\n

نعتبر الدالة g المعرفة على [0, +∞[ بـ:

\n

g(x) = x − ln(1 + x²)

\n

    \n

  1. ادرس تغيرات الدالة g.

    2. \n

  2. استنتج أن g(x) ≥ 0 لكل x ≥ 0.

    3. \n

  3. بين أن ln(1 + x²) ≤ x لكل x ≥ 0.

    4. \n

\n

\n\n

\n

? التمرين الثالث (05 نقاط)

\n

نعتبر المتتالية (un) المعرفة بـ:

\n

u0 = 4 و un+1 = (3un + 2) / (un + 2)

\n

    \n

  1. بين أن un > √2 لكل n ∈ ℕ.

    2. \n

  2. ادرس رتابة المتتالية (un).

    3. \n

  3. بين أن (un) متقاربة وأوجد نهايتها.

    4. \n

  4. احسب u1 و u2.

    5. \n

\n

\n\n

\n

? التمرين الرابع (05 نقاط)

\n

صندوق يحتوي على 6 كريات حمراء و 4 كريات بيضاء. نسحب 3 كريات في آن واحد.

\n

    \n

  1. ما هو عدد السحوبات الممكنة؟

    2. \n

  2. احسب احتمال الحصول على 3 كريات حمراء.

    3. \n

  3. احسب احتمال الحصول على كريتين حمراوين على الأقل.

    4. \n

  4. نعتبر X: عدد الكريات الحمراء المسحوبة. عين قانون احتمال X ثم احسب E(X).

    5. \n

\n

\n\n

\n

✅ الحل النموذجي

\n\n

\n

? حل التمرين الأول

\n

    \n

  1. النهايات:
    \nlimx→−∞ 2x + 1 = −∞، limx→−∞ ln(x² + 1) = +∞ ⇒ limx→−∞ f(x) = −∞
    \nlimx→+∞ 2x + 1 = +∞، limx→+∞ ln(x² + 1) ~ 2ln x ⇒ limx→+∞ f(x) = +∞

    2. \n

  2. اتجاه التغير:
    \nf′(x) = 2 − 2x/(x² + 1) = (2(x² + 1) − 2x)/(x² + 1) = (2x² − 2x + 2)/(x² + 1) = 2(x² − x + 1)/(x² + 1)
    \nx² − x + 1 > 0 ∀x ∈ ℝ (Δ = 1 − 4 = −3 < 0)
    \nf′(x) > 0، f متزايدة تماماً على ℝ.

    3. \n

  3. المستقيمان المقاربان:
    \nlimx→±∞ [f(x) − (2x + 1)] = limx→±∞ (−ln(x² + 1)) = −∞
    \nإذن لا يوجد مستقيم مقارب مائل.
    \nبل يوجد فرعان شلجميان.

    4. \n

  4. المماس عند x = 0:
    \nf(0) = 1 − ln(1) = 1، f′(0) = 2
    \n(T): y = 2x + 1

    5. \n

  5. التكامل:
    \n∫01 (2x + 1 − ln(x² + 1)) dx = [x² + x]01 − ∫01 ln(x² + 1) dx
    \n= 2 − [x ln(x² + 1)]01 + ∫01 (2x²)/(x² + 1) dx
    \n= 2 − ln 2 + 2∫01 (1 − 1/(x² + 1)) dx
    \n= 2 − ln 2 + 2[x − arctan x]01
    \n= 2 − ln 2 + 2(1 − π/4) = 4 − π/2 − ln 2

    6. \n

\n

\n\n

\n

? حل التمرين الثاني

\n

    \n

  1. تغيرات g:
    \ng′(x) = 1 − 2x/(1 + x²) = (1 + x² − 2x)/(1 + x²) = (x − 1)²/(1 + x²) ≥ 0
    \ng متزايدة على [0, +∞[.
    \ng(0) = 0 − ln(1) = 0

    2. \n

  2. الإشارة:
    \ng متزايدة و g(0) = 0 ⇒ g(x) ≥ 0 لكل x ≥ 0.
    \nأي x − ln(1 + x²) ≥ 0.

    3. \n

  3. النتيجة:
    \nإذن ln(1 + x²) ≤ x لكل x ≥ 0.

    4. \n

\n

\n\n

\n

? حل التمرين الثالث

\n

    \n

  1. الحصر:
    \nنبرهن un > √2 بالترجع.
    \nu₀ = 4 > √2 ✔
    \nنفرض un > √2
    \nun+1 − √2 = (3un + 2)/(un + 2) − √2
    \n= (3un + 2 − √2 un − 2√2)/(un + 2)
    \n= (un(3 − √2) + 2(1 − √2))/(un + 2)
    \nبما أن un > √2، البسط > 0، إذن un+1 > √2 ✔

    2. \n

  2. الرتابة:
    \nun+1 − un = (3un + 2)/(un + 2) − un = (3un + 2 − un² − 2un)/(un + 2) = (−un² + un + 2)/(un + 2)
    \nالبسط = −(un² − un − 2) = −(un − 2)(un + 1)
    \nبما أن un > √2 > 2? لا، √2 ≈ 1.41. إذن un يمكن أن يكون أكبر أو أصغر من 2.
    \nفي حالتنا u₀ = 4 > 2، un+1 − un < 0، المتتالية متناقصة.

    3. \n

  3. التقارب:
    \nمتناقصة ومحدودة من الأسفل بـ √2 ⇒ متقاربة نحو ℓ.
    \nℓ = (3ℓ + 2)/(ℓ + 2) ⇒ ℓ(ℓ + 2) = 3ℓ + 2 ⇒ ℓ² + 2ℓ = 3ℓ + 2 ⇒ ℓ² − ℓ − 2 = 0
    \nℓ = 2 أو ℓ = −1. ℓ ≥ √2، إذن ℓ = 2.

    4. \n

  4. حساب الحدود:
    \nu₁ = (12 + 2)/(4 + 2) = 14/6 = 7/3
    \nu₂ = (3×7/3 + 2)/(7/3 + 2) = (7 + 2)/(7/3 + 6/3) = 9/(13/3) = 27/13

    5. \n

\n

\n\n

\n

? حل التمرين الرابع

\n

    \n

  1. عدد السحوبات:
    \nC₁₀³ = 120 سحباً.

    2. \n

  2. 3 كريات حمراء:
    \nP = C₆³/C₁₀³ = 20/120 = 1/6

    3. \n

  3. كريتين حمراوين على الأقل:
    \nP(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3)
    \nP(X = 2) = C₆² × C₄¹ / C₁₀³ = 15 × 4 / 120 = 60/120 = 1/2
    \nP(X = 3) = 20/120 = 1/6
    \nP = 1/2 + 1/6 = 2/3

    4. \n

  4. قانون احتمال X:
    \nP(X = 0) = C₆⁰ × C₄³ / C₁₀³ = 1 × 4 / 120 = 4/120
    \nP(X = 1) = C₆¹ × C₄² / C₁₀³ = 6 × 6 / 120 = 36/120
    \nP(X = 2) = 60/120
    \nP(X = 3) = 20/120
    \nE(X) = 0×4/120 + 1×36/120 + 2×60/120 + 3×20/120 = (36 + 120 + 60)/120 = 216/120 = 9/5 = 1.8

    5. \n

\n

\n

\n\n

\n

? بكالوريا 2011 — الرياضيات — شعبة علوم تجريبية — الحل النموذجي.

\n

\n

🔗 مواضيع بكالوريا مقترحة

شاهد أيضا

التكتلات الاقتصادية الكبرى في العالم: الاتحاد الأوروبي – USMCA – ASEAN – MERCOSUR مع تمارين محلولة — الثانية ثانوي — الجغرافيا — المنهاج الجزائري

التكتلات الاقتصادية الكبرى في العالم: الاتحاد الأوروبي – النافتا – الآسيان – الميركوسور مع تمارين …

قانون أوم للمقاومة الكهربائية: العلاقة بين التوتر والتيار والمقاومة مع تمارين بكالوريا محلولة — الثانية ثانوي — العلوم الفيزيائية — المنهاج الجزائري

قانون أوم للمقاومة الكهربائية: التيار والتوتر والمقاومة مع تمارين بكالوريا محلولة – الثانية ثانوي – …

Le Passé Composé: قواعد الزمن الماضي المركب في الفرنسية مع تمارين بكالوريا محلولة — الثانية ثانوي — اللغة الفرنسية — المنهاج الجزائري

Le Passé Composé: قواعد الزمن الماضي المركب في الفرنسية مع تمارين بكالوريا محلولة – الثانية …

Conditional Sentences Types 1 2 3: الجمل الشرطية في الإنجليزية مع تمارين بكالوريا محلولة — الثانية ثانوي — اللغة الإنجليزية — المنهاج الجزائري

Conditional Sentences: الجمل الشرطية في اللغة الإنجليزية (Type 1, 2, 3) مع تمارين بكالوريا محلولة …

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

بنك الإختبارات 2026
DZ-ONEC.COM مدونة التربية و التعليم - الموقع الأول للدراسة في الجزائر 2026