الكسور — ضربها وقسمتها — الرياضيات — السنة الثانية متوسط — المنهاج الجزائري

الكسور — ضربها وقسمتها

بعد أن تعرّفنا على جمع الكسور وطرحها في السنة الأولى متوسط، ننتقل في هذا الدرس إلى عملية ضرب الكسور وقسمتها. هاتان العمليتان أساسيتان في الرياضيات وتُستخدمان في مواقف حياتية كثيرة مثل تقسيم الطعام، حساب الخصومات، وتحويل المقادير في الطبخ.

الأهداف التعليمية

• أن يحسب التلميذ جداء كسرين
• أن يحسب التلميذ خارج قسمة كسرين
• أن يبسّط التلميذ الكسور قبل ضربها
• أن يوظف التلميذ مقلوب عدد في عملية القسمة
• أن يحلّ التلميذ مسائل حياتية باستخدام ضرب وقسمة الكسور

أولاً: ضرب الكسور

قاعدة ضرب كسرين

لضرب كسرين، نضرب البسط في البسط و المقام في المقام:

\[\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\]

مثال 1: أحسب \(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}\)

\[\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}\]

مثال 2: أحسب \(\frac{5}{6} \times \frac{3}{10}\)

نبسّط أولاً: \(\frac{5}{6} \times \frac{3}{10} = \frac{5 \times 3}{6 \times 10} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}\)

الاختزال قبل الضرب

لتسهيل الحساب، نختزل (نبسّط) الكسور قبل ضربها وذلك بقسمة بسط أحد الكسرين ومقام الكسر الآخر على نفس العدد (قاسم مشترك).

مثال 3: أحسب \(\frac{7}{12} \times \frac{4}{21}\)

نلاحظ أن 7 و 21 يقبلان القسمة على 7، و 12 و 4 يقبلان القسمة على 4:

\[\frac{7}{12} \times \frac{4}{21} = \frac{7 \div 7}{12 \div 4} \times \frac{4 \div 4}{21 \div 7} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\]

ضرب عدد طبيعي في كسر

نكتب العدد الطبيعي على شكل كسر مقامه 1، ثم نضرب:

\[5 \times \frac{3}{8} = \frac{5}{1} \times \frac{3}{8} = \frac{5 \times 3}{1 \times 8} = \frac{15}{8}\]

ثانياً: قسمة الكسور

مقلوب عدد

مقلوب عدد غير معدوم a هو \(\frac{1}{a}\). مقلوب كسر \(\frac{a}{b}\) هو \(\frac{b}{a}\) (بشرط a ≠ 0 و b ≠ 0).

أمثلة:

• مقلوب 5 هو \(\frac{1}{5}\)
• مقلوب \(\frac{2}{3}\) هو \(\frac{3}{2}\)
• مقلوب \(\frac{7}{4}\) هو \(\frac{4}{7}\)

قاعدة قسمة كسرين

لقسمة كسر على كسر (غير معدوم)، نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني:

\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}\]

مثال 4: أحسب \(\frac{3}{5} \div \frac{2}{7}\)

\[\frac{3}{5} \div \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{2} = \frac{3 \times 7}{5 \times 2} = \frac{21}{10}\]

مثال 5: أحسب \(\frac{8}{9} \div 4\)

نكتب 4 على شكل كسر: \(4 = \frac{4}{1}\)، إذن:

\[\frac{8}{9} \div 4 = \frac{8}{9} \div \frac{4}{1} = \frac{8}{9} \times \frac{1}{4} = \frac{8 \times 1}{9 \times 4} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}\]

أمثلة محلولة

المثال 1 (الضرب): أحسب \(\frac{5}{8} \times \frac{4}{15}\)

الحل: نختزل أولاً: 5 و 15 يقبلان القسمة على 5، 8 و 4 يقبلان القسمة على 4:

\[\frac{5}{8} \times \frac{4}{15} = \frac{5 \div 5}{8 \div 4} \times \frac{4 \div 4}{15 \div 5} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\]

المثال 2 (القسمة): أحسب \(\frac{7}{12} \div \frac{14}{15}\)

الحل:

\[\frac{7}{12} \div \frac{14}{15} = \frac{7}{12} \times \frac{15}{14} = \frac{7 \times 15}{12 \times 14} = \frac{105}{168}\]

نبسّط: 105 ÷ 21 = 5 و 168 ÷ 21 = 8، إذن: \(\frac{105}{168} = \frac{5}{8}\)

المثال 3 (مسألة حياتية): يملك فلاح \(\frac{3}{4}\) هكتار من الأرض، يريد زراعة \(\frac{2}{3}\) منها قمحاً. ما مساحة الأرض المزروعة قمحاً؟

الحل: نضرب الكسرين: \(\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{3 \times 2}{4 \times 3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)

إذن المساحة المزروعة قمحاً هي \(\frac{1}{2}\) هكتار.

المثال 4 (مسألة حياتية): زجاجة ماء سعتها \(\frac{3}{4}\) لتر. كم زجاجة يمكن ملؤها من \(\frac{9}{2}\) لتر من الماء؟

الحل: نقسم: \(\frac{9}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{9}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{9 \times 4}{2 \times 3} = \frac{36}{6} = 6\)

إذن يمكن ملء 6 زجاجات.

جدول ملخص

العملية	القاعدة	مثال
ضرب	\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\)	\(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}\)
قسمة	\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}\)	\(\frac{3}{5} \div \frac{2}{7} = \frac{21}{10}\)

تمارين تطبيقية

1. أحسب: (أ) \(\frac{3}{4} \times \frac{5}{7}\) (ب) \(\frac{2}{9} \times \frac{6}{5}\) (ج) \(\frac{7}{10} \times \frac{5}{14}\)
2. أحسب: (أ) \(\frac{5}{8} \div \frac{3}{4}\) (ب) \(\frac{9}{11} \div \frac{3}{22}\) (ج) \(\frac{6}{7} \div 3\)
3. يتكون كيك من \(\frac{2}{5}\) كغ دقيق و \(\frac{1}{4}\) كغ سكر. ما كتلة الكيك بعد طهيه (بدون فرق في الوزن)؟
4. قطعة أرض مساحتها \(\frac{5}{6}\) هكتار. إذا زرع المزارع \(\frac{3}{5}\) منها خضروات، فما مساحة الخضروات؟
5. عند خباز \(\frac{15}{2}\) كغ من الدقيق. يريد توزيعها في أكياس سعة كل منها \(\frac{3}{4}\) كغ. كم كيساً يحتاج؟

نشاط منزلي

اذهب إلى المطبخ وابحث عن وصفتين للطبخ تحتويان على مقادير كسرية (مثلاً: \(\frac{1}{2}\) كأس حليب، \(\frac{3}{4}\) كأس طحين). اختر إحدى الوصفتين واحسب كمية كل مكوّن إذا أردت مضاعفة الكمية (ضرب في 2) ثم إذا أردت تقسيم الكمية إلى النصف (قسمة على 2). اكتب النتائج في جدول منظّم.

---

◆ دروس مشابهة

• الكسور والأعداد العشرية — الرياضيات — السنة الثانية متوسط
• الأعداد النسبية — مقارنتها وجمعها وطرحها — الرياضيات — السنة الثانية متوسط