الرياضيات — المتتاليات: رتابة المتتاليات وتقاربها — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري

المتتاليات: رتابة المتتاليات وتقاربها

المتتالية العددية (Suite numérique) هي دالة معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية ℕ (أو جزء منها). نرمز للمتتالية بـ (u_n) حيث n هو الرتبة. دراسة رتابة المتتاليات وتقاربها من المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي.

أنواع المتتاليات

• المتتالية الحسابية: u_{n+1} = u_n + r (r هو الأساس). الحد العام: u_n = u₀ + n×r.
• المتتالية الهندسية: u_{n+1} = u_n × q (q هو الأساس). الحد العام: u_n = u₀ × qⁿ.
• المتتالية المحدودة: يوجد عددان A و B بحيث A ≤ u_n ≤ B لكل n.

رتابة المتتاليات (Monotonie)

المتتالية (u_n) هي:

• متزايدة: إذا كان u_{n+1} ≥ u_n لكل n.
• متناقصة: إذا كان u_{n+1} ≤ u_n لكل n.
• ثابتة: إذا كان u_{n+1} = u_n لكل n.

لدراسة الرتابة، نحسب الفرق u_{n+1} – u_n. إذا كان الفرق موجباً فالمتتالية متزايدة، إذا كان سالباً فمتناقصة.

تقارب المتتاليات (Convergence)

المتتالية (u_n) تتقارب نحو الحد L إذا كانت حدودها تقترب من L كلما كبر n. نكتب: lim(n→∞) u_n = L. إذا لم تكن للمتتالية نهاية منتهية، فهي متباعدة (Divergente).

نظرية التقارب المونوتوني

كل متتالية متزايدة ومكبورة (Majorée) تتقارب. كل متتالية متناقصة ومصغرة (Minorée) تتقارب.

تمارين تطبيقية

التمرين 1: المتتالية (u_n) معرفة بـ u_n = (3n+1)/(n+2). ادرس رتابتها ثم احسب نهايتها.

التمرين 2: المتتالية (v_n) معرفة بـ v₀ = 1 و v_{n+1} = √(v_n + 2). برهن أنها متزايدة ومكبورة.

التمرين 3: متتالية حسابية حدها الأول 3 وأساسها 2. اكتب حدودها الخمسة الأولى واحسب u_100.

للمزيد من المعلومات، راجع درس دراسة الدوال العددية ودرس الدوال الأسية.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — الدوال المثلثية: الدالتان sin و cos — الثانية ثانوي (شعب علمية) — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري