الرياضيات — النهايات والاستمرارية — الثانية ثانوي (شعب علمية) — المنهاج الجزائري

مقدمة عن النهايات والاستمرارية

النهايات هي من أهم المفاهيم في التحليل الرياضي، فهي الأساس الذي يبنى عليه مفهوم الاشتقاق والتكامل. في هذا الدرس سنتعرف على تعريف النهاية، قواعد حسابها، ومفهوم الاستمرارية.

تعريف النهاية

نقول أن للدالة f نهاية ℓ عندما تؤول x إلى a، ونكتب:

lim_x→a f(x) = ℓ

إذا أمكن جعل قيم f(x) قريبة بقدر ما نريد من ℅ بجعل x قريبة بما يكفي من a (مع إمكانية أن تكون x ≠ a).

قواعد حساب النهايات

• نهاية المجموع: lim[f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)
• نهاية الجداء: lim[f(x) · g(x)] = lim f(x) · lim g(x)
• نهاية الخارج: lim[f(x)/g(x)] = lim f(x) / lim g(x) بشرط lim g(x) ≠ 0
• نهاية مركبة: lim f(g(x)) = f(lim g(x)) إذا كانت f متصلة

النهايات الشهيرة

• lim_x→0 sin(x)/x = 1
• lim_x→0 (e^x − 1)/x = 1
• lim_x→0 ln(1+x)/x = 1
• lim_x→+∞ e^x/xⁿ = +∞ (لكل n)
• lim_x→+∞ ln(x)/xⁿ = 0 (لكل n > 0)

الاستمرارية

تكون الدالة f متصلة عند النقطة a إذا تحقق:

lim_x→a f(x) = f(a)

أي أن نهاية الدالة عند a تساوي قيمة الدالة عند a. إذا كانت الدالة متصلة على مجال بكامله، نقول إنها متصلة على ذلك المجال.

مثال تطبيقي

تمارين

1. احسب: lim_x→3 (x² − 9)/(x − 3)
2. احسب: lim_x→+∞ (3x² + 2x − 1)/(x² − 5)
3. ادرس استمرارية الدالة f(x) = 2x + 1 عند x = 1
4. احسب: lim_x→0 sin(3x)/x

للمزيد من المعلومات، راجع درس الاشتقاق ودرس الدوال الأسية.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — التفاضل: تطبيقات اقتصادية وفيزيائية — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — الأعداد العقدية: تمثيل وعمليات — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري