الرياضيات — الاحتمالات الشرطية وقانون بايز — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري

الاحتمالات الشرطية وقانون بايز

الاحتمال الشرطي (Probabilité conditionnelle) هو احتمال وقوع حدث A بشرط وقوع حدث B. يعد قانون بايز (Bayes) من أهم القوانين في نظرية الاحتمالات، ويستخدم في مجالات عديدة كالتشخيص الطبي والذكاء الاصطناعي.

الاحتمال الشرطي

يعرف الاحتمال الشرطي لـ A علماً أن B قد وقع بالعلاقة:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) بشرط P(B) > 0.

الأحداث المستقلة

الحدثان A و B مستقلان إذا كان: P(A ∩ B) = P(A) × P(B). في هذه الحالة: P(A|B) = P(A). استقلال الأحداث يعني أن وقوع أحدها لا يؤثر على احتمال وقوع الآخر.

قانون الاحتمالات الكلية

إذا كانت {B₁, B₂, …, Bₙ} مجموعة من الأحداث المتنافية والمغطية لفضاء العينة، فإن لأي حدث A:
P(A) = Σ P(A|Bᵢ) × P(Bᵢ)

قانون بايز (Théorème de Bayes)

قانون بايز يعطينا احتمال وقوع حدث Bᵢ علماً أن A قد وقع:
P(Bᵢ|A) = P(A|Bᵢ) × P(Bᵢ) / P(A)

مثال تطبيقي

مثال: في مصنع، 40% من الإنتاج من آلة A و 60% من آلة B. نسبة المنتجات المعيبة في A هي 2% وفي B هي 3%. إذا اخترنا منتجاً عشوائياً فوجدناه معيباً، ما احتمال أنه من آلة A؟

الحل:
P(A) = 0.4, P(B) = 0.6, P(م|A) = 0.02, P(م|B) = 0.03
P(م) = 0.02×0.4 + 0.03×0.6 = 0.008 + 0.018 = 0.026
P(A|م) = 0.02×0.4/0.026 = 0.308

تمارين تطبيقية

التمرين 1: صندوق يحتوي على 10 كرات حمراء و 20 زرقاء. نسحب كرتين بدون إرجاع. احسب احتمال أن تكون الثانية حمراء علماً أن الأولى كانت حمراء.

التمرين 2: اختبار طبي لكشف مرض نادر (نسبة الإصابة 0.1%) دقته 99%. إذا كان اختبار شخص إيجابياً، ما احتمال إصابته فعلاً بالمرض؟

للمزيد من المعلومات، راجع درس الاحتمالات: مفهومها وقوانينها الأساسية ودرس التباديل والتوافيق وقوانين الاحتمال.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — الدوال المثلثية: الدالتان sin و cos — الثانية ثانوي (شعب علمية) — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري