الرياضيات — المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

المعادلات التفاضلية (Équations différentielles) هي معادلات تربط دالة بمشتقاتها. المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هي معادلة تحتوي على المشتقة الأولى للدالة. تستخدم في نمذجة الظواهر الطبيعية (النمو السكاني، التحلل الإشعاعي، التيار الكهربائي).

تعريف المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى

معادلة من الشكل: y’ = f(x, y) حيث y’ = dy/dx هي مشتقة y بالنسبة لـ x. الحل العام هو دالة y = φ(x) تحقق المعادلة.

حالة خاصة: y’ = ay + b

هذه المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى ذات المعاملات الثابتة. حلها العام هو:
y(x) = C × e^(ax) – b/a
حيث C ثابت يحدد باستخدام الشرط البدئي y(x₀) = y₀.

مثال تطبيقي: النمو الأسي

نموذج النمو الأسي: y’ = ky حيث k ثابت النمو. حله: y(t) = y₀ × e^(kt). إذا كان k > 0 فهذا نمو (مثل البكتيريا)، وإذا كان k < 0 فهذا اضمحلال (مثل التحلل الإشعاعي).

تمارين تطبيقية

التمرين 1: حل المعادلة التفاضلية y’ = 3y مع الشرط y(0) = 5.

التمرين 2: حل y’ – 2y = 4. أوجد الحل الخاص الذي يحقق y(0) = 1.

التمرين 3: مادة مشعة تتناقص بمعدل يتناسب مع كتلتها. إذا كانت الكتلة الابتدائية 100 g وبعد سنة أصبحت 95 g، اكتب معادلة الكتلة بدلالة الزمن.

للمزيد من المعلومات، راجع درس الدوال الأسية ودرس دراسة الدوال العددية.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — الدوال المثلثية: الدالتان sin و cos — الثانية ثانوي (شعب علمية) — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — الهندسة التحليلية في الفضاء: المستقيمات والمستويات — الثانية ثانوي (شعب علمية) — المنهاج الجزائري