الرياضيات — التكامل: حساب المساحات والحجوم — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري

التكامل: حساب المساحات والحجوم

التكامل (Intégration) هو عملية حسابية تعكس الاشتقاق. يستخدم التكامل لحساب المساحات تحت المنحنيات والحجوم الناتجة عن دوران منحن حول محور. يعتبر من أهم أدوات التحليل الرياضي.

التكامل المحدد (Intégrale définie)

التكامل المحدد للدالة f من a إلى b يرمز له: ∫ₐᵇ f(x) dx. هندسياً، يمثل المساحة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x في المجال [a, b]. تحسب باستخدام نظرية التناسب الأساسية: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) – F(a) حيث F دالة أصلية لـ f.

طرق حساب التكامل

• التكامل المباشر: باستخدام جدول الدوال الأصلية.
• التكامل بالتعويض: ∫ f(g(x)) × g'(x) dx = ∫ f(u) du حيث u = g(x).
• التكامل بالتجزئة: ∫ u × dv = u × v – ∫ v × du.

حساب المساحات

المساحة المحصورة بين منحنيي دالتين f و g في المجال [a, b]: A = ∫ₐᵇ |f(x) – g(x)| dx.

حساب الحجوم (Volumes de révolution)

حجم الجسم الناتج عن دوران منحنى الدالة f(x) حول محور x في المجال [a, b]: V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx.

تمارين تطبيقية

التمرين 1: احسب ∫₀¹ (x² + 2x) dx.

التمرين 2: احسب المساحة المحصورة بين المنحنيين y = x² و y = x في المجال [0, 1].

التمرين 3: احسب حجم الجسم الناتج عن دوران المنحنى y = √x حول المحور x من x = 0 إلى x = 4.

للمزيد من المعلومات، راجع درس الدوال الأصلية: تعريفها وطرق حسابها ودرس دراسة الدوال العددية.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — الدوال المثلثية: الدالتان sin و cos — الثانية ثانوي (شعب علمية) — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري