الرياضيات — الدوال اللوغاريتمية: تعريف وخصائص — الثانية ثانوي (شعب علمية) — المنهاج الجزائري

مقدمة عن الدوال اللوغاريتمية

الدوال اللوغاريتمية هي الدوال العكسية للدوال الأسية، وهي من الأدوات الأساسية في الرياضيات لحل المعادلات الأسية وتحليل الظواهر العلمية المختلفة. في هذا الدرس سنتعرف على تعريف اللوغاريتم وخصائصه.

تعريف اللوغاريتم

لوغاريتم عدد موجب x للأساس a (حيث a > 0 و a ≠ 1) هو الأس الذي يجب رفع الأساس a إليه للحصول على x. يكتب:

log_a(x) = y ⇔ a^y = x

أنواع اللوغاريتمات

• اللوغاريتم الطبيعي: للأساس e ويكتب ln(x) حيث ln(x) = log_e(x)
• اللوغاريتم العشري: للأساس 10 ويكتب log(x) أو log₁₀(x)
• اللوغاريتم الثنائي: للأساس 2 ويكتب log₂(x) ويستخدم في علوم الحاسوب

خصائص اللوغاريتمات

• log_a(1) = 0
• log_a(a) = 1
• log_a(x·y) = log_a(x) + log_a(y)
• log_a(x/y) = log_a(x) − log_a(y)
• log_a(x^r) = r · log_a(x)
• log_a(x) = log_b(x) / log_b(a) (تغيير الأساس)

مجموعة التعريف والمدى

الدالة اللوغاريتمية f(x) = log_a(x) معرفة على المجال ]0, +∞[ وتأخذ قيماً في ℝ. منحناها يمر بالنقطة (1,0) ومحور التراتيب (Oy) هو مقارب عمودي.

مثال تطبيقي

تمارين

1. احسب: (a) log₃(9) (b) log₅(125) (c) log(1000)
2. بسط: log₂(32) + log₂(0.5)
3. حل المعادلة: log₃(x) = 4
4. حل المعادلة: ln(x) = 2 (باستخدام الآلة الحاسبة)

للمزيد من المعلومات، راجع درس الدوال الأسية ودرس النهايات والاستمرارية.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — التفاضل: تطبيقات اقتصادية وفيزيائية — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — الأعداد العقدية: تمثيل وعمليات — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري