مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
\n
النسب المثلثية في مثلث قائم الزاوية
\n\n
الأهداف التعليمية:
\n
- \n
- تعريف الجيب وجيب التمام والظل في مثلث قائم
- حساب النسب المثلثية للزوايا المشهورة (30°, 45°, 60°)
- تطبيق النسب المثلثية في حل مسائل هندسية
- استعمال الآلة الحاسبة لحساب النسب المثلثية
\n
\n
\n
\n
\n\n
1. تعريف النسب المثلثية
\n
ليكن ABC مثلثاً قائماً في A. نسمي الزاوية الحادة B̂.
\n
\n
\nالضلع المقابل للزاوية B̂ هو AC
\nالضلع المجاور للزاوية B̂ هو AB
\nالوتر هو BC (أطول ضلع)\n
\n\n
تعريف:
\n
sin(B̂) = (طول الضلع المقابل)/(طول الوتر) = AC/BC
\n
cos(B̂) = (طول الضلع المجاور)/(طول الوتر) = AB/BC
\n
tan(B̂) = (طول الضلع المقابل)/(طول الضلع المجاور) = AC/AB = sin(B̂)/cos(B̂)
\n
\n\n
2. العلاقات الأساسية
\n
- \n
- sin²θ + cos²θ = 1 (العلاقة الأساسية)
- tanθ = sinθ/cosθ (إذا كان cosθ ≠ 0)
- 1 + tan²θ = 1/cos²θ
\n
\n
\n
\n\n
3. الزوايا المشهورة (جدول القيم)
\n
| الزاوية θ | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) |
|---|---|---|---|
| sin θ | ½ | √2/2 | √3/2 |
| cos θ | √3/2 | √2/2 | ½ |
| tan θ | 1/√3 = √3/3 | 1 | √3 |
\n\n
4. تمارين محلولة
\n
التمرين 1: في مثلث ABC قائم في A، AB = 3cm, AC = 4cm. أحسب sin B̂, cos B̂, tan B̂.
\n
الحل: الوتر BC = √(AB² + AC²) = √(9 + 16) = √25 = 5cm
\nsin B̂ = AC/BC = 4/5 = 0.8
\ncos B̂ = AB/BC = 3/5 = 0.6
\ntan B̂ = AC/AB = 4/3 ≈ 1.333
\n\n
التمرين 2: أحسب قيمة: A = sin²30° + cos²45° + tan60°
\n
الحل:
\nsin30° = ½ ⇒ sin²30° = ¼
\ncos45° = √2/2 ⇒ cos²45° = 2/4 = ½
\ntan60° = √3
\nA = ¼ + ½ + √3 = ¾ + √3
\n\n
التمرين 3 (بكالوريا): سلم طوله 5m يرتكز على جدار رأسي. قاعدته تبعد 3m عن الجدار. أحسب الزاوية التي يصنعها السلم مع الأرض.
\n
الحل: cos θ = (البعد عن الجدار)/(طول السلم) = 3/5 = 0.6
\nθ = arccos(0.6) ≈ 53.13°
\nالزاوية التي يصنعها السلم مع الأرض ≈ 53°
\n\n
5. تطبيقات في مسائل بكالوريا
\n
مسألة: من نقطة على سطح الأرض، توجد شجرة ارتفاعها h. إذا كانت زاوية ارتفاع قمة الشجرة 30° والمسافة بين النقطة وقاعدة الشجرة 20m. جد ارتفاع الشجرة.
\n
الحل: tan30° = h/20
\nh = 20 × tan30° = 20 × (1/√3) = 20/√3 = (20√3)/3 ≈ 11.55m
\n\n
دروس مشابهة:
- المثلثات: أنواعها وخواصها (فيثاغورس وطالس) مع تمارين محلولة — الأولى ثانوي — الرياضيات — المنهاج الجزائري
- المعادلات من الدرجة الثانية: شرح شامل مع تمارين محلولة – الأولى ثانوي (رياضيات) – المنهاج الجزائري
- الأعداد الحقيقية والعمليات عليها: القوى والجذور ومقارنة الأعداد — الرياضيات — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري
? تذكر: حفظ القيم المثلثية للزوايا المشهورة (30°, 45°, 60°) يساعدك في حل معظم المسائل في الامتحان. استخدم العلاقة sin²θ + cos²θ = 1 للتحقق من صحة الحلول.
\n
