الدوال كثيرات الحدود: دراسة وتحليل مع تمارين بكالوريا محلولة — الثانية ثانوي — الرياضيات — المنهاج الجزائري

الدوال كثيرات الحدود: دراسة وتحليل مع تمارين بكالوريا محلولة — الثانية ثانوي — الرياضيات — المنهاج الجزائري

أهداف التعلم

• التعرف على مفهوم الدالة كثيرة الحدود وخصائصها
• دراسة إشارة كثيرة الحدود وتعيين جذورها
• تحليل دالة كثيرة الحدود وتمثيلها البياني

تعريف الدالة كثيرة الحدود

الدالة كثيرة الحدود (Polynomial Function) هي دالة معرفة على R بصيغة:

P(x) = an.x^n + an-1.x^(n-1) + … + a1.x + a0

حيث أن an, an-1, …, a0 أعداد حقيقية (معاملات) و n عدد طبيعي يمثل درجة كثيرة الحدود (درجة P).

أمثلة:

• P(x) = 2x + 3 (درجة 1: دالة تآلفية)
• P(x) = x^2 – 5x + 6 (درجة 2: دالة تربيعية)
• P(x) = 2x^3 – 3x^2 + x – 1 (درجة 3: دالة تكعيبية)
• P(x) = x^4 – 3x^2 + 2 (درجة 4)

الجذور (أصفار الدالة)

نقول أن العدد a جذر (أو صفر) لكثيرة الحدود P إذا كان P(a) = 0.

إيجاد الجذور:

• من الدرجة 1: P(x) = ax + b → الجذر: x = -b/a
• من الدرجة 2: P(x) = ax^2 + bx + c → جذورها: x = [-b ± √(b^2 – 4ac)] / 2a
• من الدرجة 3 فما فوق: نستخدم التحليل، القسمة الإقليدية لكثيرات الحدود، أو مبرهنة القيم المتوسطة.

مبرهنة جذور كثيرة الحدود:

إذا كان a جذراً لـ P(x) فإن (x – a) يقسم P(x). أي أنه يوجد Q(x) بحيث: P(x) = (x – a) × Q(x)

دراسة إشارة الدالة كثيرة الحدود

من الدرجة 1: P(x) = ax + b

• إذا كان a > 0: P(x) > 0 إذاً x > -b/a
• إذا كان a < 0: P(x) > 0 إذاً x < -b/a

من الدرجة 2: P(x) = ax^2 + bx + c

نحسب المميز Δ = b^2 – 4ac:

• إذا كان Δ > 0: جذران حقيقيان مختلفان x1, x2 → الإشارة مثل a خارج الجذرين وعكسها بينهما
• إذا كان Δ = 0: جذر مزدوج x0 → الإشارة مثل a لكل x ≠ x0
• إذا كان Δ < 0: لا جذور حقيقية → الإشارة مثل a لكل x

تمارين بكالوريا محلولة

التمرين الأول: دراسة دالة من الدرجة الثانية

لتكن الدالة f(x) = x^2 – 3x + 2

1. احسب المميز Δ
2. أوجد جذري الدالة
3. حدد إشارة f(x) وفقاً لقيم x

الحل:

1. Δ = b^2 – 4ac = (-3)^2 – 4(1)(2) = 9 – 8 = 1
2. الجذران: x1 = (3 – 1)/2 = 1 ; x2 = (3 + 1)/2 = 2
3. بما أن a = 1 > 0: f(x) > 0 لكل x < 1 أو x > 2 ; f(x) < 0 لكل 1 < x < 2

التمرين الثاني: تحليل كثيرة حدود من الدرجة الثالثة

لتكن P(x) = x^3 – 3x^2 – x + 3

1. تحقق أن 1 هو جذر لـ P(x)
2. حلل P(x) إلى جداء عوامل

الحل:

1. P(1) = 1 – 3 – 1 + 3 = 0 ← إذن 1 جذر
2. بالقسمة الإقليدية: (x^3 – 3x^2 – x + 3) ÷ (x – 1) = x^2 – 2x – 3
3. إذن: P(x) = (x – 1)(x^2 – 2x – 3)
4. نحلل x^2 – 2x – 3: Δ = 4 + 12 = 16 ; x1 = (2 – 4)/2 = -1 ; x2 = (2 + 4)/2 = 3
5. إذن: P(x) = (x – 1)(x + 1)(x – 3)

دروس مشابهة

• الدوال العددية: مفهوم الدالة والتمثيل البياني
• الدوال الأسية واللوغاريتمية