تطبيقات الاشتقاق: دراسة الدوال ورسمها – الرياضيات — السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا) — المنهاج الجزائري

تطبيقات الاشتقاق: دراسة الدوال ورسمها

الاشتقاق أداة رياضية قوية لدراسة سلوك الدوال. يمكن استخدام المشتقة لتحديد اتجاه تغير الدالة، النقاط الحرجة، القيم القصوى والدنيا، ونقاط الانقلاب. فهم هذه التطبيقات ضروري لحل المسائل العملية في الفيزياء والهندسة والاقتصاد.

اتجاه تغير الدالة

إذا كانت f'(x) > 0 على فترة، فالدالة متزايدة. إذا كانت f'(x) < 0، فالدالة متناقصة. إذا كانت f'(x) = 0، فالدالة ثابتة محلياً. جدول التغيرات يلخص اتجاه تغير الدالة بناءً على إشارة المشتقة.

القيم القصوى والدنيا

النقاط الحرجة: حيث f'(x) = 0 أو f'(x) غير معرفة. اختبار المشتقة الأولى: إذا تغيرت إشارة f’ من + إلى – عند النقطة، فلها قيمة عظمى محلية. إذا تغيرت من – إلى +، فلها قيمة صغرى محلية. اختبار المشتقة الثانية: إذا f”(x) > 0، فالقيمة صغرى. إذا f”(x) < 0، فالقيمة عظمى.

رسم المنحنى

خطوات رسم منحنى دالة: تحديد مجال التعريف. حساب النهايات والخطوط المقاربة. حساب المشتقة الأولى (دراسة التغيرات). حساب المشتقة الثانية (التقعر). إنشاء جدول التغيرات. تحديد النقاط المميزة (تقاطع مع المحاور، نقاط حرجة). رسم المنحنى.

تمارين

1. ادرس تغيرات الدالة f(x) = x^3 – 3x^2 + 1 وارسم منحناها.
2. أوجد القيم القصوى والدنيا المحلية لـ f(x) = x^4 – 4x^3 + 2.
3. صفيح مستطيل الشكل مساحته 100 m2. ما أبعاده التي تجعل محيطه أصغر ما يمكن؟

خلاصة

الاشتقاق أداة أساسية لتحليل الدوال. يسمح بتحديد اتجاه التغير، القيم القصوى، نقاط الانقلاب، ويساعد في رسم المنحنيات بدقة. تطبيقاته تشمل تحسين المسائل (إيجاد القيم العظمى والصغرى).

---

📍 دروس مشابهة

• المرجح في المستوي: مفهومه وخصائصه وتطبيقاته – الرياضيات — السنة الأولى ثانوي (ج
• الاحتمال الشرطي: مفهومه وقواعده والأحداث المستقلة – الرياضيات — السنة الأولى ثا
• الإحصاء الوصفي: مقاييس النزعة المركزية والتشتت – الرياضيات — السنة الأولى ثانوي