المتتالية الهندسية: تعريفها وخصائصها – الرياضيات — السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا) — المنهاج الجزائري

المتتالية الهندسية: تعريفها وخصائصها

المتتالية الهندسية هي متتالية عددية يكون فيها الحد الثابت بين أي حدين متتاليين (يسمى الأساس أو النسبة المشتركة) مقداراً ثابتاً. تستخدم المتتاليات الهندسية في نمذجة النمو السكاني، الفوائد البنكية المركبة، تحلل المواد المشعة، وغيرها من الظواهر الطبيعية والاقتصادية.

تعريف المتتالية الهندسية

نقول أن (Un) متتالية هندسية إذا وجد عدد حقيقي q (يسمى الأساس) بحيث: Un+1 = Un × q لكل n ∈ IN. الحد العام للمتتالية الهندسية هو Un = U0 × qⁿ حيث U0 هو الحد الأول.

خصائص المتتالية الهندسية

• إذا كان q > 1، تكون المتتالية متزايدة (إذا كان U0 > 0)
• إذا كان 0 < q < 1، تكون المتتالية متناقصة (إذا كان U0 > 0)
• إذا كان q = 1، تكون المتتالية ثابتة
• إذا كان q < 0، تكون المتتالية متذبذبة (تتناوب الإشارات)

مجموع الحدود

مجموع n + 1 حداً الأولى من متتالية هندسية (من U0 إلى Un) هو: Sn = U0 × (1 – qⁿ⁺¹) / (1 – q) حيث q ≠ 1.

مثال تطبيقي

متتالية هندسية حدها الأول U0 = 3 وأساسها q = 2. الحدود الأولى هي: U0 = 3, U1 = 6, U2 = 12, U3 = 24. الحد العاشر U9 = 3 × 2⁹ = 1536. مجموع الحدود العشرة الأولى: S9 = 3 × (1 – 2¹⁰) / (1 – 2) = 3 × (1 – 1024) / (-1) = 3069.

تمارين

1. متتالية هندسية حدها الأول 5 وأساسها 3. أحسب الحد الخامس.
2. حدد أساس المتتالية الهندسية التي تحقق: U3 = 24 و U5 = 96.
3. وضع شخص مبلغ 10000 دينار في بنك بمعدل فائدة مركبة 5% سنوياً. اكتب متتالية تمثل المبلغ بعد n سنة ثم أحسب المبلغ بعد 5 سنوات.
4. أحسب المجموع: S = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 1024.

خلاصة

المتتالية الهندسية أداة رياضية قوية لفهم الظواهر التي تنمو أو تتضائل بنسبة ثابتة. إتقان حساب الحد العام والمجموع يسمح بحل مسائل متنوعة في الفيزياء والاقتصاد وعلوم الحياة.

---

📍 دروس مشابهة

• الهياكل الأساسية للخوارزميات – الإعلام الآلي — السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك عل
• السلاسل الغذائية والشبكات الغذائية – علوم الطبيعة والحياة — السنة الأولى ثانوي
• الإيمان بالملائكة: صفاتهم ووظائفهم وأثر الإيمان بهم في حياة المسلم — التربية الإ