مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
المعادلات التفاضلية: مقدمة وحلول أساسية
المعادلة التفاضلية هي معادلة تحتوي على دالة ومشتقاتها. تستخدم في نمذجة الظواهر الطبيعية مثل النمو السكاني والتحلل الإشعاعي والحركة والاهتزازات.
تعريف المعادلة التفاضلية
معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى: y” = f(x, y) أو dy/dx = f(x, y). حلها هو دالة y(x) تحقق المعادلة. الحل العام يحتوي على ثابت اختياري C. الحل الخاص يحصل بتعيين الشرط البدئي.
أنواع المعادلات التفاضلية
- معادلة من الدرجة الأولى ذات متغيرين منفصلين: dy/dx = g(x) × h(y).
- معادلة خطية من الدرجة الأولى: y” + P(x)y = Q(x).
- معادلة من الدرجة الثانية بمعاملات ثابتة: ay”” + by” + cy = 0.
حلول المعادلات الأساسية
- y” = ky → y = Ce^(kx) (النمو الأسي).
- y”” + ω²y = 0 → y = A cos(ωx) + B sin(ωx) (الحركة التوافقية).
- y” + ay = b → y = Ce^(-ax) + b/a (النمو المحدود).
تمارين
- حل المعادلة التفاضلية: dy/dx = 2x مع الشرط y(0) = 3.
- حل: y” – 3y = 0 و y” + 4y = 0.
- المعادلة dy/dt = -0.1y تمثل التحلل الإشعاعي. إذا كان y(0) = 100، أوجد y(t).
للمزيد من الدروس حول التحليل الرياضي، راجع درس التكامل: حساب المساحات والحجوم ودرس الدوال الأسية واللوغاريتمية.