الرياضيات — الدوال الأصلية: حساب الدوال الأصلية — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الدوال الأصلية: حساب الدوال الأصلية

الدالة الأصلية (Primitive) هي دالة F تحقق F'(x) = f(x) لكل x في مجال تعريف f. حساب الدوال الأصلية هو عكس الاشتقاق.

تعريف الدالة الأصلية

F دالة أصلية لـ f على مجال I إذا كانت F قابلة للاشتقاق على I و F'(x) = f(x) لكل x ∈ I.
إذا كانت F دالة أصلية لـ f، فإن كل الدوال الأصلية لـ f تكتب على الشكل F(x) + C (حيث C ثابت حقيقي).

الدوال الأصلية للدوال الأساسية

f(x) = a → F(x) = ax + C
f(x) = x^n (n ≠ -1) → F(x) = x^(n+1)/(n+1) + C
f(x) = 1/x → F(x) = ln|x| + C
f(x) = e^x → F(x) = e^x + C
f(x) = sin x → F(x) = -cos x + C
f(x) = cos x → F(x) = sin x + C

طرق حساب الدوال الأصلية

التكامل بالتعويض: نغير المتغير لتبسيط التكامل.
التكامل بالتجزئة: ∫ u dv = uv – ∫ v du

مثال

أوجد دالة أصلية لـ f(x) = 3x^2 + 2x + 1
F(x) = 3×x^3/3 + 2×x^2/2 + x + C = x^3 + x^2 + x + C
إذا كانت F(0) = 1 → C = 1 → F(x) = x^3 + x^2 + x + 1

تمارين

1. أوجد دالة أصلية لكل من الدوال التالية:
   أ) f(x) = x^4 – 3x^2 + 2
   ب) f(x) = e^(2x) + 1/x
   ج) f(x) = sin(3x) + cos(2x)
2. أوجد الدالة الأصلية F للدالة f(x) = 2x + 3 التي تحقق F(1) = 4.
3. احسب التكاملات التالية:
   أ) ∫ (2x+5)^3 dx
   ب) ∫ x·e^x dx (باستخدام التكامل بالتجزئة)
4. تطبيق: سرعة جسم تعطى بالدالة v(t) = 4t – 2. أوجد قانون الموضع s(t) إذا كان s(0) = 1.

للاستزادة، راجع درس التكامل: مفهوم التكامل غير المحدد ودرس الاشتقاقية.

📍 دروس مشابهة:

• الرياضيات — الأعداد النسبية — الثانية متوسط — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — تطبيقات التكامل في حساب المساحات والحجوم — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري
• الإعلام الآلي — تطبيقات الهواتف الذكية: مقدمة — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري