الرياضيات — القسمة في Z: الموافقات وتطبيقاتها — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

القسمة في Z: الموافقات وتطبيقاتها

القسمة في Z (الحساب النمطي – Modular Arithmetic) تدرس العلاقات بين الأعداد الصحيحة عند القسمة على عدد طبيعي. لها تطبيقات في التشفير ونظرية الأعداد.

القسمة الإقليدية في Z

لكل عددين صحيحين a و b (حيث b ≠ 0)، يوجد عددان صحيحان وحيدان q و r يحققان:
a = b × q + r حيث 0 ≤ r < |b|
a: المقسوم، b: المقسوم عليه، q: خارج القسمة، r: الباقي.

مثال

a = 23, b = 5: 23 = 5 × 4 + 3 → q = 4, r = 3
a = -23, b = 5: -23 = 5 × (-5) + 2 → q = -5, r = 2

الموافقات (Congruences)

نقول أن a يوافق b بترديد n (a ≡ b [n] أو a ≡ b mod n) إذا كان الفرق a-b يقبل القسمة على n.
a ≡ b [n] ⇔ n | (a-b)

مثال

17 ≡ 2 [5] لأن 17 – 2 = 15 يقبل القسمة على 5.
23 ≡ 3 [4] لأن 23 – 3 = 20 يقبل القسمة على 4.

خصائص الموافقات

إذا كان a ≡ b [n] و c ≡ d [n]:
a + c ≡ b + d [n] a – c ≡ b – d [n] a × c ≡ b × d [n] a^k ≡ b^k [n] (k ∈ ℕ)

تمارين

1. أوجد باقي قسمة 137 على 7.
2. تحقق أن: 27 ≡ 3 [4] و 15 ≡ 3 [4] ثم احسب 27+15 modulo 4.
3. أوجد باقي قسمة 2^100 على 3 (استخدم الموافقات).
4. حل معادلة الموافقة: 2x ≡ 1 [5] (أوجد x بين 0 و 4).
5. رقم التعريف الوطني الجزائري يستخدم الموافقات. اشرح كيف يعمل رقم التعريف (NIF) في الجزائر.

للاستزادة، راجع درس كثيرات الحدود ودرس المنطق الرياضي.