الرياضيات — الأعداد العقدية: الجذور النونية للعدد المركب — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الأعداد العقدية: الجذور النونية للعدد المركب

الجذور النونية للعدد المركب z هي كل الأعداد المركبة w التي تحقق w^n = z. هذا المفهوم له تطبيقات مهمة في حل المعادلات وفي الهندسة.

الجذور التربيعية لعدد مركب

الجذران التربيعيان للعدد z = a+ib (مع b ≠ 0) هما الحلان w للمعادلة w^2 = z.
نكتب w = x+iy، ثم: (x+iy)^2 = a+ib
x^2 – y^2 = a و 2xy = b
العدد w هو جذر تربيعي لـ z إذا كان w^2 = z.

مثال

أوجد الجذور التربيعية للعدد z = 3+4i:
w = x+iy, w^2 = x^2-y^2 + 2ixy = 3+4i
x^2-y^2 = 3 و 2xy = 4
مع x^2+y^2 = |w|^2 = |z| = 5
بالجمع: 2x^2 = 8 → x^2 = 4 → x = ±2
y = 2/x → إذا x=2 → y=1, إذا x=-2 → y=-1
الجذران هما: 2+i و -2-i

الجذور النونية باستخدام صيغة موافر

إذا كان z = r(cos θ + i sin θ)، فإن الجذور النونية هي:
w_k = r^(1/n) × (cos(θ+2kπ)/n + i sin(θ+2kπ)/n)
حيث k = 0, 1, 2, …, n-1

الجذور المكعبية للعدد 1

المعادلة w^3 = 1:
w_0 = 1
w_1 = cos(2π/3) + i sin(2π/3) = -1/2 + i√3/2 (نرمز له بـ j)
w_2 = cos(4π/3) + i sin(4π/3) = -1/2 – i√3/2 (= j^2)

تمارين

1. أوجد الجذور التربيعية للعدد z = -5+12i.
2. أوجد الجذور المكعبية للعدد z = -8.
3. حل المعادلة z^3 + 8 = 0 في مجموعة الأعداد المركبة.
4. أوجد الجذور الرابعية للعدد z = 16.
5. أثبت أن 1 + j + j^2 = 0 وأن j^3 = 1 (حيث j = -1/2 + i√3/2).

للاستزادة، راجع درس الأعداد المركبة: الشكل المثلثي وصيغة موافر ودرس الأعداد المركبة: تمثيلها في المستوى العقدي.

📍 دروس مشابهة:

• رزنامة العطل المدرسية في الجزائر 2026-2027: مواعيد العطلة الخريفية والشتوية والربيعية
• اللغة العربية السنة الأولى ابتدائي — المدود (الألف، الواو، الياء) — المنهاج الجزائري
• اللغة العربية السنة الأولى ابتدائي — الشدة — المنهاج الجزائري