مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: y’+ay=0
المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الأولى بحلول أسية. تستخدم في نمذجة الظواهر الطبيعية.
1- تعريف
المعادلة التفاضلية: y’ + a y = 0 حيث a ثابت حقيقي. y دالة غير معرفة للمتغير x (أو t). y’ مشتقتها.
2- الحل العام
الحل العام: y(x) = C × e^(-ax) حيث C ثابت اختياري. التحقق: y’ = -aC×e^(-ax) = -ay → y’+ay=0 ✓.
3- الحل الخاص (شرط ابتدائي)
نعطي قيمة y عند نقطة (مثلاً y(0)=y₀). بتعويض x=0: y₀ = C×e⁰ = C. الحل: y(x) = y₀ × e^(-ax).
4- تطبيقات
التناقص الإشعاعي: N'(t) = -λN(t) → N(t)=N₀e^(-λt). شحن المكثفة: u_C'(t)+(1/RC)u_C(t)=E/RC. التبريد: T'(t)+k(T-T_m)=0.
5- المعادلة y’+ay=b
الحل: y(x) = b/a + C×e^(-ax). الجزء الثابت: y_p=b/a (حل خاص). الجزء المتغير: y_h=C×e^(-ax) (حل متجانس).
تمارين محلولة
التمرين 1: حل y’-2y=0 مع y(0)=3. y=3×e^(2x).
التمرين 2: محلول مشع: N'(t)=-0.02N, N(0)=1000. N(t)=1000×e^(-0.02t). بعد 100 ثانية: N=1000×e^(-2)=135.3.
خلاصة
المعادلات التفاضلية y’+ay=0 أساسية في النمذجة الرياضية. حلها دوال أسية تصف النمو والاضمحلال.
