الرياضيات — الأعداد الصحيحة الطبيعية: القسمة الإقليدية وخوارزمية إقليدس — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الأعداد الصحيحة الطبيعية والقسمة الإقليدية

الأعداد الصحيحة الطبيعية هي ℕ = {0, 1, 2, 3, …}. في هذا الدرس ندرس القسمة الإقليدية (القسمة مع باق) وخوارزمية إقليدس لإيجاد القاسم المشترك الأكبر.

القسمة الإقليدية

لكل عددين طبيعيين a (المقسوم) و b (المقسوم عليه) حيث b ≠ 0، يوجد عددان طبيعيان وحيدان q (الخارج) و r (الباقي) بحيث: a = b × q + r و 0 ≤ r < b.

مثال: 17 ÷ 5: 17 = 5 × 3 + 2، إذن q = 3 و r = 2.

القاسم المشترك الأكبر (PGCD)

القاسم المشترك الأكبر لعددين a و b هو أكبر عدد طبيعي يقسمهما معاً. نرمز له بـ PGCD(a, b).

خوارزمية إقليدس: لحساب PGCD(a, b):

1. نقسم a على b: a = b × q₁ + r₁ (0 ≤ r₁ < b)
2. إذا كان r₁ = 0 فإن PGCD(a, b) = b
3. وإلا، نقسم b على r₁: b = r₁ × q₂ + r₂
4. نكرر العملية حتى يصبح الباقي 0، وعندها PGCD هو آخر باق غير معدوم.

مثال: PGCD(36, 24): 36 = 24 × 1 + 12, 24 = 12 × 2 + 0. إذن PGCD(36, 24) = 12.

خواص PGCD

• PGCD(a, b) = PGCD(b, a)
• إذا كان b يقسم a فإن PGCD(a, b) = b
• PGCD(a, b) = PGCD(a − b, b)

تمارين

تمرين 1: أحسب PGCD(84, 36) باستخدام خوارزمية إقليدس.

تمرين 2: إذا كان PGCD(a, b) = 6 و a × b = 216، جد قيمة a و b.

تمرين 3: بين أن العددين 25 و 36 أوليان فيما بينهما (PGCD = 1).

للاستزادة، راجع: القاسم المشترك الأكبر PGCD و المضاعف المشترك الأصغر PPCM.

📍 دروس مشابهة:

• الرياضيات — المجموعات: مفهوم وتمثيل مجموعة — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — الهندسة التحليلية: معادلة مستقيم في المستوى — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — النشر والتحليل: العامل المشترك والمتطابقات الشهيرة — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري