الرياضيات — التكامل: تعريف وطرق الحساب — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري

مقدمة في التكامل

التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق، ويستخدم لحساب المساحات والحجوم والأطوال في الهندسة، ولحساب الشغل والطاقة في الفيزياء. ينقسم التكامل إلى نوعين: التكامل غير المحدد والتكامل المحدد.

التكامل غير المحدد

التكامل غير المحدد للدالة f هو مجموعة جميع الدوال الأصلية (المشتقات العكسية) للدالة f. يكتب:

∫ f(x) dx = F(x) + C

حيث F'(x) = f(x) و C هو ثابت التكامل.

قواعد التكامل الأساسية

• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
• ∫ (1/x) dx = ln|x| + C
• ∫ e^x dx = e^x + C
• ∫ a^x dx = a^x/ln(a) + C
• ∫ sin(x) dx = −cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C
• ∫ k·f(x) dx = k·∫ f(x) dx
• ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

التكامل المحدد

التكامل المحدد للدالة f بين a و b يكتب:

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

حيث F هي دالة أصلية لـ f. التكامل المحدد يمثل المساحة المحصورة بين منحنى الدالة ومحور الفواصل بين x = a و x = b.

طرق التكامل

• التكامل بالتعويض: لتكامل دوال مركبة باستخدام u = g(x)
• التكامل بالتجزئة: ∫ u·dv = u·v − ∫ v·du
• التكامل بالكسور الجزئية: لتكامل الدوال النسبية

مثال تطبيقي

تمارين

1. احسب: ∫ (4x³ − 6x + 5) dx
2. احسب: ∫ e^2x dx
3. احسب التكامل المحدد: ∫₀^π/2 sin(x) dx
4. احسب المساحة المحصورة بين f(x) = x² ومحور الفواصل من x = 0 إلى x = 2

للمزيد من المعلومات، راجع درس الاشتقاق ودرس النهايات والاستمرارية.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — التفاضل: تطبيقات اقتصادية وفيزيائية — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — الأعداد العقدية: تمثيل وعمليات — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري