المنطق الرياضي: القضايا والاستدلالات مع تمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات – المنهاج الجزائري

مفهوم القضية المنطقية

القضية المنطقية (Proposition) : جملة خبرية تحمل قيمة صدق (صحيح أو خطأ) ولا يمكن أن تكون الاثنين معاً. مثال : «العدد 7 أولي» → صحيح. «العدد 4 فردي» → خطأ.

أنواع القضايا

القضية البسيطة : قضية واحدة لا تحتوي على رابط منطقي. مثال : «المثلث متساوي الساقين».

القضية المركبة : تتكون من قضيتين أو أكثر مرتبطة بروابط منطقية. مثال : «المثلث متساوي الساقين و قائم الزاوية».

روابط المنطق

• النفي (¬) : يعكس قيمة الصدق. إذا كانت P صحيحة، فـ ¬P خاطئة.
• الوصل (∧) : «و» — صحيحة فقط إذا كانت كلتا القضيتين صحيحتين.
• الفصل (∨) : «أو» — صحيحة إذا كانت واحدة على الأقل صحيحة.
• الاستلزام (⇒) : «إذا… فإن…» — خطأ فقط إذا كانت المقدمة صحيحة والنتيجة خاطئة.
• التكافؤ (⇔) : «إذا وفقط إذا» — صحيحة عندما تكون القضيتان متساويتين في الصدق.

جداول الحقيقة

P	Q	P ∧ Q	P ∨ Q	P ⇒ Q	P ⇔ Q
ص	ص	ص	ص	ص	ص
ص	خ	خ	ص	خ	خ
خ	ص	خ	ص	ص	خ
خ	خ	خ	خ	ص	ص

قوانين دي مورغان

• ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q
• ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q

تستخدم هذه القوانين لتبسيط العبارات المنطقية المعقدة.

الاستدلالات الرياضية

الاستنتاج (Déduction) : الانتقال من العام إلى الخاص. مثال : كل الأعداد الزوجية تقبل القسمة على 2. 8 عدد زوجي → 8 يقبل القسمة على 2.

الاستقراء (Induction) : الانتقال من الخاص إلى العام. مثال : 1 + 3 = 2², 1 + 3 + 5 = 3² → مجموع أول n من الأعداد الفردية يساوي n².

تمارين بكالوريا محلولة

تمرين 1 : أنشئ جدول الحقيقة للعبارة (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).
الحل : هذه العبارة تكافئ P ⇔ Q.

تمرين 2 : بسّط باستخدام قوانين دي مورغان : ¬(x > 3 ∧ x < 7).
الحل : ¬(x > 3) ∨ ¬(x < 7) أي x ≤ 3 ∨ x ≥ 7.

تمرين 3 : حدد قيمة صدق : «إذا كان العدد يقبل القسمة على 4 فإنه يقبل القسمة على 2».
الحل : صحيحة (لأن 4 = 2 × 2).

📍 دروس مشابهة

• الهندسة الفضائية: المواقف النسبية للمستقيمات والمستويات في الفضاء — الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات
• التباديل والتوافيق وقوانين الاحتمال: شرح شامل مع تمارين بكالوريا محلولة — الثالثة ثانوي (بكالوريا) — الرياضيات