مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
📘 تعريف الدالة اللوغاريتمية النيبيرية
الدالة اللوغاريتمية النيبيرية هي الدالة العكسية للدالة الأسية. نرمز لها بـ ln(x) وتُقرأ “لوغاريتم نيبيري لـ x”.
مجموعة التعريف: Dln = ]0, +∞[
الخاصية الأساسية: لكل x > 0 و y ∈ ℝ، y = ln(x) ⇔ ey = x
🔑 خصائص الدالة اللوغاريتمية
- ln(1) = 0 و ln(e) = 1
- ln(a × b) = ln(a) + ln(b) حيث a > 0 و b > 0
- ln(a/b) = ln(a) − ln(b) حيث a > 0 و b > 0
- ln(an) = n × ln(a) حيث a > 0 و n ∈ ℤ
- ln(√a) = ½ × ln(a) حيث a > 0
📝 أمثلة تطبيقية على الخصائص
مثال 1: بسط ln(8) + ln(5) − ln(4)
ln(8) + ln(5) − ln(4) = ln(8 × 5) − ln(4) = ln(40) − ln(4) = ln(40/4) = ln(10)
مثال 2: حل المعادلة ln(x) = 3
ln(x) = 3 ⇔ x = e3 (لأن ln دالة تقابلية من ]0,+∞[ إلى ℝ)
📈 دراسة الدالة اللوغاريتمية
النهاية عند 0: limx→0⁺ ln(x) = −∞
النهاية عند +∞: limx→+∞ ln(x) = +∞
النهايات الهامة:
- limx→0⁺ x × ln(x) = 0
- limx→+∞ ln(x)/x = 0
- limx→1 ln(x)/(x−1) = 1
المشتقة: f(x) = ln(x) ⇒ f'(x) = 1/x لكل x > 0
بما أن 1/x > 0 لكل x > 0، فإن الدالة ln تزايدية قطعاً على ]0,+∞[.
التمثيل البياني: منحنى الدالة اللوغاريتمية يقطع محور الفواصل في النقطة (1,0) ومحور التراتيب لا يقطعه، وله فرع لا نهائي باتجاه محور التراتيب عند 0.
🎯 تمرين بكالوريا محلول
تمرين: ادرس تغيرات الدالة f(x) = ln(x) − x + 2 على ]0, +∞[.
الحل:
- مجموعة التعريف: ]0, +∞[
- حساب المشتقة: f'(x) = 1/x − 1 = (1 − x)/x
- دراسة إشارة المشتقة: 1 − x > 0 ⇔ x < 1
- جدول التغيرات:
x 0 1 +∞ f'(x) || 0 − f(x) −∞ f(1)=1 −∞ - f(1) = ln(1) − 1 + 2 = 0 − 1 + 2 = 1
- إذن الدالة تزايدية على ]0, 1] وتناقصية على [1, +∞[ ولها قيمة قصوى عند x=1 تساوي 1.
💡 خلاصة
الدالة اللوغاريتمية النيبيرية هي دالة مرجعية في منهاج البكالوريا. يجب إتقان: مجموعة التعريف، الخصائص الجبرية (تحويل الجداء إلى مجموع)، دراسة التغيرات، وحل المعادلات والمتراجحات اللوغاريتمية. تظهر الدوال اللوغاريتمية بكثرة في تمارين البكالوريا إلى جانب الدوال الأسية.
📍 دروس مشابهة: الدوال الأسية — تعريف وخصائص وتمارين بكالوريا | الاشتقاقية — قواعد الاشتقاق وتطبيقاتها مع تمارين بكالوريا محلولة
