مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الهندسة الفضائية: المواقف النسبية للمستقيمات والمستويات في الفضاء
أهداف الدرس:
- أن يتمكن المتعلم من تحديد الوضع النسبي لمستقيمين في الفضاء.
- أن يستطيع تحديد الوضع النسبي لمستقيم ومستوى في الفضاء.
- أن يميز بين مختلف الحالات للوضع النسبي لمستويين.
- أن يطبق قواعد التوازي والتعامد في الفضاء لحل تمارين بكالوريا.
1- الوضع النسبي لمستقيمين في الفضاء
في الفضاء، يمكن أن يكون مستقيمان في أحد الأوضاع التالية:
- المستقيمان متوازيان: إذا كانا واقعين في مستوى واحد ولا يتقاطعان. نكتب (D) // (D’).
- المستقيمان متقاطعان: إذا كان لهما نقطة مشتركة واحدة. يكونان واقعين حتماً في مستوى واحد.
- المستقيمان متخالفان: إذا لم يكونا في مستوى واحد (غير متوازيين وغير متقاطعين). هذه حالة خاصة بالفضاء فقط.
2- الوضع النسبي لمستقيم ومستوى
يمكن أن يكون مستقيم (D) ومستوى (P) في أحد الأوضاع:
- المستقيم داخل المستوى: إذا كانت جميع نقاطه تنتمي إلى المستوى.
- المستقيم يوازي المستوى: إذا لم تكن له نقطة مشتركة مع المستوى. نكتب (D) // (P).
- المستقيم يقطع المستوى: إذا كانت له نقطة مشتركة واحدة مع المستوى.
خاصية هامة: إذا كان مستقيمان متوازيين، فإن أي مستوى يقطع أحدهما يقطع الآخر.
3- الوضع النسبي لمستويين في الفضاء
- المستويان متوازيان: إذا لم تكن لهما نقطة مشتركة (P) // (Q).
- المستويان متقاطعان: إذا كان تقاطعهما مستقيماً.
- المستويان متطابقان: إذا كان لهما جميع النقاط مشتركة.
4- خاصيات التوازي في الفضاء
خاصية 1: إذا كان مستقيمان موازيين لمستقيم ثالث فإنهما متوازيان.
خاصية 2: إذا كان مستقيم يوازي مستوي فإنه يوازي مستقيماً من ذلك المستوي.
خاصية 3: إذا كان مستويان متوازيين، فإن كل مستقيم من أحدهما يوازي الآخر.
خاصية 4 (مبرهنة المستقيمين المتقاطعين): إذا كان مستقيمان متقاطعين يوازيان مستقيمين متقاطعين من مستوى، فإن المستقيمين والمستوى متوازيان.
5- تمارين بكالوريا محلولة
تمرين 1: في فضاء مزود بمعلم متعامد ومتجانس (O,i,j,k)، نعتبر المستقيم (D) الذي معادلاته: x=2t+1, y=-t+3, z=t-2 والمستوى (P): 2x-y+3z-5=0. بين أن (D) يقطع (P) في نقطة يطلب تعيينها.
الحل: نعوض معادلات (D) في معادلة (P): 2(2t+1)-(-t+3)+3(t-2)-5=0 ⇒ 4t+2+t-3+3t-6-5=0 ⇒ 8t-12=0 ⇒ t=3/2. إذن نقطة التقاطع هي: x=2(3/2)+1=4, y=-3/2+3=3/2, z=3/2-2=-1/2. أي A(4 ; 3/2 ; -1/2).
تمرين 2 (بكالوريا): بين أن المستقيمين (D1): (x-1)/2 = (y+1)/-1 = z-3 و (D2): x = -t+1, y = 2t-2, z = t متخالفان.
الحل: نحدد متجهين موجهين: u1(2,-1,1) و u2(-1,2,1). نلاحظ أنهما غير مرتبطين خطياً (غير متناسبين) وغير متوازيين. نبحث عن تقاطع: بحل جملة المعادلات نجد أنه لا يوجد حل مشترك، إذن المستقيمان متخالفان.
📝 خلاصة
تعتبر الهندسة الفضائية من أهم محاور رياضيات البكالوريا. يجب على التلميذ إتقان تصور المواقف النسبية المختلفة في الفضاء والقدرة على ترجمتها حسابياً باستخدام المعادلات البارامترية والمتجهات. التركيز على تمارين التوازي والتعامد في الفضاء لأنها الأكثر طلباً في امتحان البكالوريا.
