مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
مقدمة في الاشتقاق
الاشتقاق هو أحد المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، ويستخدم لدراسة تغير الدوال ومعدلات التغير. للاشتقاق تطبيقات واسعة في الفيزياء والهندسة والاقتصاد.
تعريف المشتقة
مشتقة الدالة f عند النقطة x₀ هي نهاية معدل التغير عندما تؤول الزيادة h إلى الصفر:
f'(x₀) = limh→0 [f(x₀+h) − f(x₀)] / h
إذا كانت هذه النهاية موجودة ومنتهية، نقول إن الدالة قابلة للاشتقاق عند x₀. والمشتقة f'(x₀) تمثل ميل المماس لمنحنى الدالة عند النقطة (x₀, f(x₀)).
قواعد الاشتقاق الأساسية
- مشتقة الثابت: (c)’ = 0
- مشتقة الدالة الخطية: (x)’ = 1
- مشتقة القوة: (xn)’ = n·xn−1
- مشتقة الجداء: (u·v)’ = u’·v + u·v’
- مشتقة الخارج: (u/v)’ = (u’·v − u·v’) / v²
- مشتقة مركبة: (f(g(x)))’ = f'(g(x)) · g'(x)
مشتقات الدوال الأساسية
- (ex)’ = ex
- (ln(x))’ = 1/x
- (sin(x))’ = cos(x)
- (cos(x))’ = −sin(x)
- (ax)’ = ax · ln(a)
- (loga(x))’ = 1/(x·ln(a))
تطبيقات الاشتقاق
يستخدم الاشتقاق في العديد من المجالات: إيجاد معادلة المماس، دراسة رتابة الدوال، إيجاد القيم القصوى والصغرى، وحل مسائل التحسين في العلوم والهندسة.
مثال تطبيقي
مثال: احسب مشتقة الدالة f(x) = 3x² + 2x − 5
الحل: f'(x) = 3·2x + 2·1 − 0 = 6x + 2
مثال 2: احسب مشتقة f(x) = x²·ex
الحل: f'(x) = (x²)’·ex + x²·(ex)’ = 2x·ex + x²·ex = ex(x² + 2x)
تمارين
- احسب مشتقة: f(x) = 4x³ − 2x² + 7x − 1
- احسب مشتقة: f(x) = (2x + 1)(x² − 3)
- احسب مشتقة: f(x) = e3x
- أوجد معادلة المماس لمنحنى f(x) = x² عند x = 2
للمزيد من المعلومات، راجع درس النهايات والاستمرارية ودرس التكامل.
📍 دروس مشابهة
- الرياضيات — التفاضل: تطبيقات اقتصادية وفيزيائية — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري
- الرياضيات — الأعداد العقدية: تمثيل وعمليات — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري